高中数学重难点及需补充的竞赛数学及大学数学知识
文/刘蒋巍
引言
经历2021、2022年两年新高考后，我们发现：要想应对当下的新高考数学，除了抓住重难点外，还需补充必要的竞赛数学及大学数学知识。
那么，这些知识有哪些呢？
我们针对高中数学重难点、需补充必要的竞赛数学及大学数学知识，做了如下梳理。
知识梳理表
高中数学重难点及需补充的竞赛数学、大学数学知识 | |
高中数学重难点 | 需补充的竞赛数学、大学数学知识 |
1. 集合中元素特征中的“互异性” 2. 子集、真子集的性质 3. 空集的特殊性质 4. 集合交、并、补的运算 5. 韦恩图法 6. 德.摩根定律 7. 数轴、韦恩图中“以形助数，以数辅形”的“数形结合”思想 8. 集合问题中的“函数与方程思想” 9. 集合问题中的“分类讨论思想” 10. 集合问题中的“划归与转化思想” 11. 集合中的“新定义”问题 | 1. 有限集合子集的个数及推广命题 2. 容斥原理 3. 数论中的奇偶分析、整除、同余等性质 4. 集合的“长度”最值问题 5. 抽屉原理 |
12. 集合观点下的充分条件与必要条件 13. 充分条件与必要条件的四种形式 14. 利用充分、必要条件求参数的范围 15. 证明充要条件的思路 16. 全称量词、存在量词真假的判断 | 6. 用反证法证明的步骤 |
17. 均值不等式链及推广 18. 糖水不等式 19. 基本不等式中“一正二定三相等”的模式识别及注意点 20. 用基本不等式求最值的10大解题技巧（凑项、凑系数、分离、换元、取平方、整体代换、构造法、待定系数法、因式分解法及其他方法） 21. 建立不等关系的4条途径（利用问题几何意义、判别式、函数有界性、单调性） 22. 分式型不等式的最值问题（分子二次，分母一次；或分子一次，分母二次） 23. 三个“二次”的关系（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系） 24. 函数零点的概念 25. 含参一元二次不等式的讨论 26. 同解不等式及同解变形 27. 数轴标根法求一元高次不等式 | 7. 基本不等式的几何解释（射影定理几何模型、垂径定理几何模型、相交弦定理几何模型、切割线定理几何模型等） 8. 函数的凹凸性 9. 用函数的凹凸性证明不等式 10. 函数的有界性 |
28. 分数指数幂的定义 29. 立方和（差）公式及运用 30. 指数式与对数式的互相转化 31. 对数恒等式及其运用 32. 指数与对数的运算性质 33. 对数的换底公式 | 11. 多重根号的处理技巧 12. 复杂的指数、对数换算技巧 13. 同构 |
34. 函数的定义域和值域 35. 复合函数的定义域求法 36. 已知值域求参数范围问题 37. 分段函数问题 38. 函数图像的变换作图法（平移与翻折） 39. 函数方程的解法（配凑法、换元法、解方程组法、待定系数法、赋值法） 40. 求函数单调区间的3种方法（图像法、定义法、利用已知函数单调性） 41. 二次函数在给定区间上的最值问题 42. 函数的恒成立与有解问题 43. 奇函数、偶函数的性质 44. 判断函数奇偶性的步骤 45. 函数的互对称、自对称 46. 幂函数的定义及性质 47. 解决函数有关实际问题的思路与步骤 | 14. 函数的“迭代” 15. 求复合函数的值域的8种方法（观察法、配方法、反解法、换元法、分离常数法、判别式法、数形结合法、最值法） 16. 函数中与存在量词、全称量词相关的结论（4类情形：任意，任意；存在，存在；任意，存在；存在，任意。可以是不等问题或方程问题） 17. 奇函数与奇函数，偶函数与偶函数，奇函数（但不是偶函数）与偶函数（但不是奇函数）的和差积商函数的奇偶性分析 18. 抽象函数奇偶性、单调性、周期性的判定方法 19. 函数的对称性与周期性之间的关系 20. 两边夹原理（夹逼定理） |
48. 指数函数与指数型函数的区别 49. 解决指数型复合函数单调性的步骤 50. 对数型奇函数的性质 51. 对数函数的图像与性质 52. 对数的大小比较 53. 函数定义域为R的问题 54. 函数值域为R的问题 55. 解决对数型复合函数单调性的步骤 56. 线性函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长速度比较 57. 函数的零点与方程的根的关系 58. 函数零点存在定理 59. 根据函数零点个数求参数取值范围 60. 结合“根与系数关系”研究根的分布问题 61. 结合“函数零点存在定理”研究根的分布问题 62. 二分法求函数零点近似值的一般步骤 | 21. 含绝对值的复合函数图像的变换 22. 反函数的概念（理解对数函数、指数函数互为反函数） 23. 求反函数的步骤 24. 双曲函数（双曲正弦、双曲余弦、双曲正切）的公式及函数性态 25. 反双曲函数（反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切）的公式及函数性态 |
63. 象限角、轴线角的集合表示 64. 弧度与角度换算 65. 弧度制下的扇形弧长、面积公式 66. 根据图形写出区域角的集合的步骤 67. 求已知角的三角函数值的步骤 68. 利用三角函数定义解三角不等式（方程）的步骤 69. 诱导公式及其运用 70. 同角三角函数的基本关系式 71. 正弦值、余弦值的和、差、积之间的关系 72. 化简或证明三角函数式的常用技巧（1的代换，弦切互化，整体代换等） 73. 正弦函数、余弦函数图像的周期性、对称性 74. 三角函数的对称轴、对称中心与周期的关系 75. 正弦函数、余弦函数的单调性和最值问题 76. 正切函数图像及性质 77. 比较两个正切值大小的步骤 78. 三角函数图像的平移问题 79. 由函数图像求解析式 80. “审题、建模、解模、回归实际问题”的应用题解题方法（摩天轮、水车、风车、钟摆等问题。） | 26.第一象限内，sinx，x与tanx大小关系的几何解释 |
81. 平行向量、相等向量和相反向量 82. 向量减法的运算及几何意义 83. 三角形的“四心”（垂心、重心、内心、外心）的性质 84. 向量数乘的运算律 85. 向量的共线定理 86. 三点共线的充要条件 87. 向量的数量积（内积）的定义及性质 88. 向量的投影与投影向量的关系 89. 与向量的夹角有关的充要条件 | 27.绝对值三角不等式 28.平面向量的“积化和差公式”（极化恒等式） 29.“奔驰”定理 30.“等和线”及其运用 |
90. 两角和与差的余弦（正弦）公式及其变用 91. 合一变换公式的证明及运用 92. 两角和差的正切公式及其变形 93. 正切函数在三角形中的重要结论 94. 三角求值、化简的常见思路 95. 二倍角公式及升幂、降幂公式 96. 18°、36°的正弦、余弦值 97. 证明三角恒等式的一般步骤 | 31. 三倍角公式 32. 半角公式 33. 万能公式 34. “积化和差公式”、“和差化积公式”及其几何证明 35. 三角恒等变换的3个方向（变“角”、变“名”、变“结构”） |
98. 正弦定理及其变形运用 99. 余弦定理及其变形运用 100.利用正弦定理讨论三角形解的个数 101.面积公式、秦九韶三斜求积公式、海伦公式 102.三角形面积、周长的最值问题 | 36.余弦定理的逆定理 37.余弦定理的正弦形式 38.角平分线定理 39.三角函数中的“划归与转化思想” |
103.旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的表面积、体积最值问题 104.等角定理 105.异面直线所成角 106.直线与平面平行、垂直 107.直线与平面所成的角 108.平面与平面平行的判定定理与性质定理 109.平面与平面垂直的判定定理及性质定理 110.二面角的求法（定义法、三垂线法、垂面法、补形法、等体积法、射影法、公式法） 111.7种空间中的距离（两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、直线与平面间的距离、两平行平面间的距离等。） 112. 空间向量及其坐标表示 113. 空间直线的方向向量与法向量 114. 空间向量在度量问题中的应用 | 40. 与正多面体的顶点数、面数、棱数有关的“欧拉定理” 41. 最小角定理 42. 三垂线定理及其逆定理 43. 三线角公式 44. 三余弦定理及三正弦定理 45. 求解距离问题的“转化与划归思想”（面面距离——>线面距离——>点面距离——>点点距离） |
115. 计数原理 116. 概率与统计初步 117. 成对数据的统计分析 118. 一般离散型随机变量的分布列、正态分布 119. 二项分布与超几何分布 | |
120.斜率模型的几何意义 121.两直线平行、垂直的判定 122.直线方程的5种形式（点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程） 123.直线系过定点问题 124.直线与二元一次方程的关系 125.方程组解的组数与两条直线的位置关系 126.四种常见的对称问题（点关于点、点关于线、线关于点、线关于线） 127.点到直线的距离公式及其应用 128.设直线斜截式的注意点 129.点与圆的位置关系 130.圆的直径式方程 131.与圆有关的轨迹问题 132.圆的一般方程的代数特点 133.几何意义为“斜率、截距、距离”的代数式 134.与圆有关的轨迹问题 135.直线与圆的位置关系的判定（代数角度、几何角度） 136.两圆位置关系的判定方法 137.两圆的公共弦问题 138.两圆的公切线问题 139.两圆相切问题 | 46. 经过两条直线交点的直线系方程 47. 夹角公式 48. 圆系方程及其运用 49. 阿波罗尼斯圆 50. 过圆上一点的切线方程 51. 过圆外一点引圆两条切线，切点弦所在直线的方程 52. 过两曲线交点的曲线系方程 53. 经过两圆公共点的圆系方程 |
140.椭圆标准方程推导过程中隐藏在代数式背后的几何特征（焦半径公式、椭圆的第二定义、椭圆上异于端点的点与椭圆对称轴端点的斜率之积为定值） 141.曲线方程的求法 142.椭圆的几何性质、椭圆上点的坐标的有界性 143.离心率的意义 144.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 145.圆锥曲线的中点弦问题（处理中点弦问题的常用方法） 146.椭圆的“垂径定理” 147.与焦点三角形有关的结论 148.与焦点弦有关的结论 149.与焦半径有关的问题 150.与椭圆通径有关的问题 151.与椭圆有关的定值、最值问题 152.双曲线的几何性质 153.双曲线的常用性质及结论 154.双曲线的渐近线方程及其运用 155.双曲线的第二定义 156.双曲线的“垂径定理” 157.抛物线的轨迹方程 158.与抛物线有关的轨迹问题 159.抛物线的几何性质 160.抛物线的参数p的几何意义 161.抛物线焦点弦的常用结论 162.定值问题及常用处理方法 163.定点问题及常用处理方法 | 54. 有心圆锥曲线中点弦的统一性质 55. 三角形的坐标面积公式 56. 椭圆的参数方程 57. 卡西尼卵形线 58. 共焦点的圆锥曲线系方程 59. 常用的圆锥曲线系方程 60. 为什么抛物线不存在渐近线 61. 求曲线轨迹方程的5大方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。） 62. 圆锥曲线的切线问题（椭圆的切线方程、双曲线的切线方程、抛物线的切线方程） 63. 常见曲线的切点弦方程（圆的切点弦方程、椭圆的切点弦方程、双曲线的切点弦方程、抛物线的切点弦方程、反比例函数的切点弦方程、耐克曲线的切点弦方程、一般二次曲线的切点弦方程） 64. 极点、极线的几何定义、代数定义及基本结论 65. 阿基米德三角形 66. “张直角弦”问题 67. 圆锥曲线“等角”定理 68. 彭赛列（Poncelet）闭合定理 69. 蒙日圆问题 |
164.数列与函数的关系 165.数列通项公式与前n项和的关系 166.数列通项公式与前n项积的关系 167.等差数列的判定方法 168.基本量思想 169.等差数列的单调性 170.等差数列通项与一次函数的关系 171.等差数列的性质 172.等差数列项的设法 173.抽取等差数列的等距项 174.解决两等差数列公共项问题的方法 175.解答等差/等比数列应用问题的基本步骤 176.等差/等比数列前n项和公式 177.裂项求和法 178.等差数列前n项和最值的2种求法（通项公式法；借助二次函数图像） 179.在等差数列中，关于等和问题的最值 180.等比数列与指数函数的关系 181.等比数列的判定与证明 182.利用错位相减法求等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列的前n项和 183.分期付款的数学模型 184.倒序相加法 185.分组求和法 | 70.k阶递推数列 71.周期数列及求和 72无穷递缩等比数列的极限 73.由等比数列生成的新等比数列 74.数列不等式放缩的基本类型（利用累加法/累乘法/可求和的新数列/迭代法等构建关系进行放缩） 75.糖水原理 76.一阶线性递推数列 77.指数递推型数列 78.分式递推式的“不动点法” 79.二阶线性递推数列的“特征根法” 80.裴波那契数列 81.数学归纳法及第二数学归纳法 82.贝努利不等式 |
186.瞬时速度与平均速度的区别与联系 187.求导数的步骤（一差，二化，三极限） 188.导数的几何意义 189.利用切线求最值 190.曲线的公切线问题 191.基本初等函数的导数 192.导数的四则运算 193.复合函数的导数 194.用导数证明函数单调性 195.求函数单调区间的方法 196.关注结构特征构造辅助函数 197.已知函数的单调性求参数的取值范围 198.构造函数利用导数解决不等式问题 199.已知函数的极值/最值求参数的取值范围 200.求可导函数极值的步骤 201.函数最值与极值的区别与联系 202.生活中的最优化问题 203.隐零点问题 204.讨论含参函数的零点个数 205.已知零点的个数，求参数的取值范围 206.与函数零点有关的不等式证明的一般思路 207.三次函数的图像特征和零点分布 208.三次函数的图像及其性质 209.三次函数的切线 210.三次函数的零点 211.三次函数的最值 212.极值点偏移的定义 213.运用判定定理判定极值点偏移问题的一般步骤 214.双变量问题的处理策略 | 83.正弦函数、余弦函数的导数公式的推导 84.指数函数、对数函数的导数公式推导 85.二阶导数与函数的凹凸性 86.洛必达法则 87.过三次函数极值点的切线 88.过三次函数图像上任一点的切线 89.过三次函数图像外一点的切线 90.泰勒公式、泰勒级数 91.对数平均值不等式的证明（阿达玛（Hadamard）积分不等式的特例） 92.极值点偏移问题的一般形式 93.阿达玛（Hadamard）积分不等式 94.切线放缩、割线放缩、切割线放缩 95.罗尔定理 96.拉格朗日中值定理 |
给各位教师以及准备冲刺985、211高校的学生提供参考！
作者简介：
刘蒋巍，江苏如东人，中国数学会会员，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育研究》特约编委,学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，“刘蒋巍创业实验室”创办人，“YOUSTUDY专转本培训"创办人。
在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇，著有《命题转换的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导》、《中高考数学命题技术研究》、《江苏高考数学复习指南》、《升学考试数学试卷的命制》 、《教学之道28篇》、《新时代人力资源管理教程》、《有效教研》等书籍20余本。拥有《LOVE教学原则、ICPR教学法、IPBQLD教学法与五感授课》、《LSMF教学法、EBASV教学法与渐进式提问》、《6783教学体系：文言翻译六字诀、编题七字诀、读写结合八步法、三情境反思法》、《教师四课研训》、《五步成“师”：数学教师成长的5条路径》等版权课程300余部。
