冯跃峰
本节主要讨论如何发掘题中的隐含条件。
有些问题,其条件系统包含了某些隐含的结论,而这个结论不易被发现,但它又是解题的关键。这时,常常需要通过对目标所需条件的审视,发掘所需要的隐含条件。
我们先举一个例子来说明。
例1、设f(x)=,求
f(-5) f(-4) … f(5) f(6)
(上海市高考题)。
【分析与解】如果将每一个数都代入函数表达式去计算,显然过程很繁。因此,本题一定隐含有一定的规律,需要我们去发掘。
从求和式的“对称”特点:多个数与其相反数同时出现,想到考察
f(x) f(-x),期望它的值为常数(隐含结论)。
于是,我们先实现这样的子目标:
f(x) f(-x)=常数。
这可建立如下解题主线:
f(x) f(-x)——→ 常数。
由条件可知,
f(x) f(-x)
= 。
发现差异,为便于合并,将当前状态第二项中负指数转化为正指数,
上式= 。
继续发现差异,两项分母中,的系数不同,可将其变得相同。于是,
上式= 。
至此,两项的分母并不完全一致,难以合并得到常数。我们期望第二个项的分母也是
“”,
这就要在最开始时,将第二个项更换成:
=
= f(-x 1)。
因此,我们要将子目标调整为:
“f(x) f(-x 1)=常数”,
也即“f(x 1) f(-x)=常数”。
建立如下主线:
f(x 1) f(-x)——→ 常数。
按照上面逐步消除两项之间差异的方式,解题畅通无阻。
f(x 1) f(-x)
=
=
=
=
=
=。
将上述隐含的结论,代入最终的目标求值式,便得到所求之值。具体解答如下:
【新写】因为f(x 1) f(-x)
=
=
=
=
=
=。
所以,
f(-5) f(-4) … f(5) f(6)
=6·(f(-5) f(6))
=6·=3。
下面的一个例子与之类似,我们仅演示解答,分析过程留给读者作为练习。
例2、设f(x)=-2x 1,
求。
【新写】因为f(-x)= 2x 1
= 2x 1
=-( -2x) 1
=-( -2x 1) 2
=-f(x) 2,
所以f(x) f(-x)=2,所以,
= f(0)
= 1=1003×2 1=2007。
我们再举两个简单的例子。
例3、解不等式:
2|x-|x |x-1|||>|x |x-|x 1|||。
【分析与解】本题含有多层绝对值符号,样子怪吓人的。但只要发掘了隐含条件,则解题非常顺畅。
当然,如果不立足于发掘隐含条件,直接对每个绝对值符号分类讨论,则过程相当繁琐。比如,对于不等式左边,最内层的不等式|x-1|,需要分x≥1、x<1两种情况讨论;对于不等式右边,最内层的不等式|x 1|,又需要分x≥-1、x<-1两种情况讨论。
实际上,|x-1|与|x 1|都无需去掉绝对值符号,各自连同它前面所带的项,其代数和有确定的符号:x |x-1|>0与x-|x-1|<0(隐含条件)。
只要有了这一发现,解答就水到渠成。具体解答如下:
【新写】因为
x |x-1|≥x (1-x)=1>0,
所以,
x-|x |x-1||=x-(x |x-1|)=-|x-1|,
2|x-|x |x-1|||=2|-|x-1||=2|x-1|。
因为
x-|x 1|≤x-(x 1)=-1<0,
所以
x |x-|x 1||=x (|x 1|-x)=|x 1|,
|x |x-|x 1|||=||x 1||=|x 1|。
所以原不等式等价于
2|x-1|>|x 1|,
两边平方,得
4(x²-2x 1)>x² 2x 1。
解得其解集为
(-∞,)∪(3, ∞)。
例4、设x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根,令
=x₁ⁿ x₂ⁿ。
求A₁ A₂ … A。
【分析与解】本题关键,是发掘隐含条件:数列{}是周期数列。
因为x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根,
所以x₁²-x₁ 1=0,
于是,x₁-x₁ x₁=0。
同理,x₂-x₂ x₂=0。
两式相加,得
(x₁ⁿ x₂ⁿ)-(x₁ x₂)
(x₁ x₂)=0,
即A-A A=0,
所以A=A-A。
因为A=1,A=-1,A=-2,
A=-1,A=1,A=2,
A=1,A=-1,所以
(A,A)=(A,A)。
又A=A-A,
所以{A}是周期为6的周期数列。于是,
A ₁ A ₂ … A
= A ₁ A ₂ 333(A ₁ A ₂ … A)
= A ₁ A ₂=0。
下面看一个难度稍大一点的例子。
例5、设f(x)满足:对任何实数x、y,有
f(x)f(y)= f(x y),
且x<0时,f(x)>1。
(1)求证:x>0时,0< f(x)<1。
(2)若对任何实数x、y,有
f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,求实数a的取值范围。
【分析与解】先看第一个目标:
“x>0时,0< f(x)<1”,
注意其中“x>0时”是条件部分(假言),只有
“0< f(x)<1”才是真正的结论部分。
于是,采用整体目标确定其解题主线:
x>0(起点) ——→ 0< f(x)<1(终点)。
与之接近的条件显然是
“x<0时,f(x)>1”。
但两者存在明显差异:不等式方向相反。只有消除了差异,才能利用条件。
当然,这里的差异消除是很容易的,起点不等式两边同乘以-1即可。于是,
由x>0,有-x<0,
利用题给条件,得f(-x)>1。
再继续发现差异,目标中含有的函数是f(x),需要将当前状态中的
“f(-x)”转化为“f(x)”,
这就要研究f(-x)与f(x)之间的关系。
由此发现,题中的另一个条件(函数方程)恰好是为此服务的(一开始并不知道该条件有何作用,这便是寻找条件的含义)。
构造相同,在“函数方程”中
令y=-x,得f(x)f(-x)= f(0)。
要将f(-x)转化为f(x),
这就需要知道:f(0)=?(子目标)
继续构造相同,在“函数方程”中
令y=x=0,得f(0)f(0)= f(0),
于是f(0)=0或1。
f(0)的两种取值是否都有可能?可逐一检验。
如果f(0)=0,则在“函数方程”中
令y=0,得f(x)f(0)= f(x),
所以f(x)=0对任何实数x成立,
与“x<0时,f(x)>1”矛盾。
所以f(0)≠0,从而f(0)=1。
注:以上推理过程可以改进。
直接在“函数方程”中令y=0,x=-1,得
f(-1)f(0)= f(-1),于是f(0)= 1。
这样,我们有f(x)f(-x)=1,
再由f(-x)>1,有>1,
所以0< f(x)<1。
问题(1)获解。
再看第二个目标:
“若对任何实数x、y,有
f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,
求实数a的取值范围。”
寻找条件,要求实数a的取值范围,需要在
f(x²)f(y²)≤ f(axy)中将抽象函数符号f去掉。
需要怎样的条件才能去掉f?——函数的单调性!这就是一个隐含条件。
函数具有怎样的单调性呢?这是未知的,可建立如下解题主线(子目标):
x₁<x₂ —→ f(x₁)∨ f(x₂)。
再寻找条件,与之接近的条件是
“x<0时,f(x)>1”。
但两者存在明显差异:不等式右边不同。只有消除了差异,才能利用条件。
当然,这里的差异消除也是很容易的,起点不等式移项即可。于是,
由x₁<x₂,得x₁-x₂<0。
结合题给条件,有
f(x₁-x₂)>1。①
与目标比较,需要将
f(x₁-x₂)转化为f(x₁)、f(x₂)的形式。
由此发现,题中的另一个条件(函数方程)恰好又是为此服务的(又一次说明了寻找条件的含义)。
构造相同,在“函数方程”中
令x=x ₁,y=-x ₂,得
f(x₁-x₂)= f(x₁)f(-x₂)。
代入①式,得
f(x₁)f(-x₂)>1。②
发现差异,与目标比较,需要将
f(-x₂)化为f(x₂)的形式。
寻找条件,注意已经得到的中间结论也是条件。
前面已经得到,f(x)f(-x)=1,
所以f(-x₂)=。
代入②,便有>1。
又由(1)的结论,对任何实数x,有
f(x)>0,所以f(x₂)>0,
所以f(x₁)> f(x₂),所以f是减函数。
这样,由f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,
即f(x₂ y₂)≤ f(axy)恒成立。
由于f是减函数,所以
x² y²≥ axy恒成立。③
联想相关知识:关于含有参数的不等式恒成立的问题,常用方法有
(i)赋值法:
先令变量取特定值,得出参数的范围,然后证明对这样的参数,不等式确实恒成立。
(ii)分离参数法:
f(a,x,y)≤0,等价于a≤g(x,y),
等价于a≤g(x,y)。
(或等价于a≥g(x,y),等价于a≥g(x,y)。)
(iii)图象法:
f(a,x)≤0恒成立,等价于y= f(a,x)的图象在x轴下方。
对于本题,只能使用方法(i)。
在不等式③中令x=y=1,得a≤2;
在不等式③中令x=1,y=-1,得
a≥-2,所以-2≤a≤2。
下面证明,当-2≤a≤2时,不等式③恒成立。
实际上,当xy=0时,不等式③显然成立。
当xy>0时,因为(x-y)²≥0,
所以x² y²≥2xy,
所以≥2≥a,
此不等式两边同乘以xy,
得x² y²≥axy。
当xy<0时,因为(x y)²≥0,
所以x² y²≥-2xy,
所以≤-2≤a,
此不等式两边同乘以xy,得
x² y²≥axy。
所以无论哪种情况,都有不等式③成立。故a的取值范围是[-2,2]。
具体解答如下:
【新写】(1)证明:在“函数方程”中
令y=0,x=-1,
得f(-1)f(0)= f(-1),
于是f(0)= 1。
再在“函数方程”中令y=-x,得
f(x)f(-x)= f(0)=1,
所以f(-x)=。
当x>0时,有-x<0。
于是,f(-x)>1,
即>1,所以0< f(x)<1。
(2)设x₁<x₂,则x₁-x₂<0。
结合题给条件,有f(x₁-x₂)>1。①
在题给“函数方程”中令x=x ₁,y=-x ₂,得
f(x₁-x₂)= f(x₁)f(-x₂)。
代入①式,得f(x₁)f(-x₂)>1。②
又f(x)f(-x)=1,
所以f(-x₂)=。
代入②,便有>1。
又由(1)的结论,f(x₂)>0,
所以f(x₁)> f(x₂),所以f是减函数。
于是,由题给“函数方程”,知
f(x²)f(y²)≤ f(axy)
等价于f(x² y²)≤ f(axy),
进而等价于x² y²≥ axy。(*)
在不等式(*)中令x=y=1,得a≤2;
在不等式(*)中令x=1,y=-1,
得a≥-2,所以-2≤a≤2。
下面证明,当-2≤a≤2时,不等式(*)恒成立。
实际上,当xy=0时,不等式(*)显然成立。
当xy>0时,因为(x-y)²≥0,
所以x² y²≥2xy,
所以≥2≥a,
此不等式两边同乘以xy,得
x² y²≥axy。
当xy<0时,因为(x y)²≥0,
所以x² y²≥-2xy,
所以≤-2≤a,
此不等式两边同乘以xy,得
x² y²≥axy。
所以无论哪种情况,都有不等式(*)成立。
故a的取值范围是[-2,2]。
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