分离常数法公式怎么推导,什么叫常数分离法

首页 > 经验 > 作者:YD1662022-11-09 10:57:05

冯跃峰

本节主要讨论如何发掘题中的隐含条件。

有些问题,其条件系统包含了某些隐含的结论,而这个结论不易被发现,但它又是解题的关键。这时,常常需要通过对目标所需条件的审视,发掘所需要的隐含条件。

我们先举一个例子来说明。

例1、设f(x)=,求

f(-5) f(-4) … f(5) f(6)

(上海市高考题)。

【分析与解】如果将每一个数都代入函数表达式去计算,显然过程很繁。因此,本题一定隐含有一定的规律,需要我们去发掘。

从求和式的“对称”特点:多个数与其相反数同时出现,想到考察

f(x) f(-x),期望它的值为常数(隐含结论)。

于是,我们先实现这样的子目标:

f(x) f(-x)=常数。

这可建立如下解题主线:

f(x) f(-x)——→ 常数。

由条件可知,

f(x) f(-x)

= 。

发现差异,为便于合并,将当前状态第二项中负指数转化为正指数,

上式= 。

继续发现差异,两项分母中,的系数不同,可将其变得相同。于是,

上式= 。

至此,两项的分母并不完全一致,难以合并得到常数。我们期望第二个项的分母也是

“”,

这就要在最开始时,将第二个项更换成:

=

= f(-x 1)。

因此,我们要将子目标调整为:

“f(x) f(-x 1)=常数”,

也即“f(x 1) f(-x)=常数”。

建立如下主线:

f(x 1) f(-x)——→ 常数。

按照上面逐步消除两项之间差异的方式,解题畅通无阻。

f(x 1) f(-x)

=

=

=

=

=

=。

将上述隐含的结论,代入最终的目标求值式,便得到所求之值。具体解答如下:

【新写】因为f(x 1) f(-x)

=

=

=

=

=

=。

所以,

f(-5) f(-4) … f(5) f(6)

=6·(f(-5) f(6))

=6·=3。

下面的一个例子与之类似,我们仅演示解答,分析过程留给读者作为练习。

例2、设f(x)=-2x 1,

求。

【新写】因为f(-x)= 2x 1

= 2x 1

=-( -2x) 1

=-( -2x 1) 2

=-f(x) 2,

所以f(x) f(-x)=2,所以,

= f(0)

= 1=1003×2 1=2007。

我们再举两个简单的例子。

例3、解不等式:

2|x-|x |x-1|||>|x |x-|x 1|||。

【分析与解】本题含有多层绝对值符号,样子怪吓人的。但只要发掘了隐含条件,则解题非常顺畅。

当然,如果不立足于发掘隐含条件,直接对每个绝对值符号分类讨论,则过程相当繁琐。比如,对于不等式左边,最内层的不等式|x-1|,需要分x≥1、x<1两种情况讨论;对于不等式右边,最内层的不等式|x 1|,又需要分x≥-1、x<-1两种情况讨论。

实际上,|x-1|与|x 1|都无需去掉绝对值符号,各自连同它前面所带的项,其代数和有确定的符号:x |x-1|>0与x-|x-1|<0(隐含条件)。

只要有了这一发现,解答就水到渠成。具体解答如下:

【新写】因为

x |x-1|≥x (1-x)=1>0,

所以,

x-|x |x-1||=x-(x |x-1|)=-|x-1|,

2|x-|x |x-1|||=2|-|x-1||=2|x-1|。

因为

x-|x 1|≤x-(x 1)=-1<0,

所以

x |x-|x 1||=x (|x 1|-x)=|x 1|,

|x |x-|x 1|||=||x 1||=|x 1|。

所以原不等式等价于

2|x-1|>|x 1|,

两边平方,得

4(x²-2x 1)>x² 2x 1。

解得其解集为

(-∞,)∪(3, ∞)。

例4、设x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根,令

=x₁ⁿ x₂ⁿ。

求A₁ A₂ … A。

【分析与解】本题关键,是发掘隐含条件:数列{}是周期数列。

因为x₁、x₂是方程x²-x 1=0的两个根,

所以x₁²-x₁ 1=0,

于是,x₁-x₁ x₁=0。

同理,x₂-x₂ x₂=0。

两式相加,得

(x₁ⁿ x₂ⁿ)-(x₁ x₂)

(x₁ x₂)=0,

即A-A A=0,

所以A=A-A。

因为A=1,A=-1,A=-2,

A=-1,A=1,A=2,

A=1,A=-1,所以

(A,A)=(A,A)。

又A=A-A,

所以{A}是周期为6的周期数列。于是,

A ₁ A ₂ … A

= A ₁ A ₂ 333(A ₁ A ₂ … A)

= A ₁ A ₂=0。

下面看一个难度稍大一点的例子。

例5、设f(x)满足:对任何实数x、y,有

f(x)f(y)= f(x y),

且x<0时,f(x)>1。

(1)求证:x>0时,0< f(x)<1。

(2)若对任何实数x、y,有

f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,求实数a的取值范围。

【分析与解】先看第一个目标:

“x>0时,0< f(x)<1”,

注意其中“x>0时”是条件部分(假言),只有

“0< f(x)<1”才是真正的结论部分。

于是,采用整体目标确定其解题主线:

x>0(起点) ——→ 0< f(x)<1(终点)。

与之接近的条件显然是

“x<0时,f(x)>1”。

但两者存在明显差异:不等式方向相反。只有消除了差异,才能利用条件。

当然,这里的差异消除是很容易的,起点不等式两边同乘以-1即可。于是,

由x>0,有-x<0,

利用题给条件,得f(-x)>1。

再继续发现差异,目标中含有的函数是f(x),需要将当前状态中的

“f(-x)”转化为“f(x)”,

这就要研究f(-x)与f(x)之间的关系。

由此发现,题中的另一个条件(函数方程)恰好是为此服务的(一开始并不知道该条件有何作用,这便是寻找条件的含义)。

构造相同,在“函数方程”中

令y=-x,得f(x)f(-x)= f(0)。

要将f(-x)转化为f(x),

这就需要知道:f(0)=?(子目标)

继续构造相同,在“函数方程”中

令y=x=0,得f(0)f(0)= f(0),

于是f(0)=0或1。

f(0)的两种取值是否都有可能?可逐一检验。

如果f(0)=0,则在“函数方程”中

令y=0,得f(x)f(0)= f(x),

所以f(x)=0对任何实数x成立,

与“x<0时,f(x)>1”矛盾。

所以f(0)≠0,从而f(0)=1。

注:以上推理过程可以改进。

直接在“函数方程”中令y=0,x=-1,得

f(-1)f(0)= f(-1),于是f(0)= 1。

这样,我们有f(x)f(-x)=1,

再由f(-x)>1,有>1,

所以0< f(x)<1。

问题(1)获解。

再看第二个目标:

“若对任何实数x、y,有

f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,

求实数a的取值范围。”

寻找条件,要求实数a的取值范围,需要在

f(x²)f(y²)≤ f(axy)中将抽象函数符号f去掉。

需要怎样的条件才能去掉f?——函数的单调性!这就是一个隐含条件。

函数具有怎样的单调性呢?这是未知的,可建立如下解题主线(子目标):

x₁<x₂ —→ f(x₁)∨ f(x₂)。

再寻找条件,与之接近的条件是

“x<0时,f(x)>1”。

但两者存在明显差异:不等式右边不同。只有消除了差异,才能利用条件。

当然,这里的差异消除也是很容易的,起点不等式移项即可。于是,

由x₁<x₂,得x₁-x₂<0。

结合题给条件,有

f(x₁-x₂)>1。①

与目标比较,需要将

f(x₁-x₂)转化为f(x₁)、f(x₂)的形式。

由此发现,题中的另一个条件(函数方程)恰好又是为此服务的(又一次说明了寻找条件的含义)。

构造相同,在“函数方程”中

令x=x ₁,y=-x ₂,得

f(x₁-x₂)= f(x₁)f(-x₂)。

代入①式,得

f(x₁)f(-x₂)>1。②

发现差异,与目标比较,需要将

f(-x₂)化为f(x₂)的形式。

寻找条件,注意已经得到的中间结论也是条件。

前面已经得到,f(x)f(-x)=1,

所以f(-x₂)=。

代入②,便有>1。

又由(1)的结论,对任何实数x,有

f(x)>0,所以f(x₂)>0,

所以f(x₁)> f(x₂),所以f是减函数。

这样,由f(x²)f(y²)≤ f(axy)恒成立,

即f(x₂ y₂)≤ f(axy)恒成立。

由于f是减函数,所以

x² y²≥ axy恒成立。③

联想相关知识:关于含有参数的不等式恒成立的问题,常用方法有

(i)赋值法:

先令变量取特定值,得出参数的范围,然后证明对这样的参数,不等式确实恒成立。

(ii)分离参数法:

f(a,x,y)≤0,等价于a≤g(x,y),

等价于a≤g(x,y)。

(或等价于a≥g(x,y),等价于a≥g(x,y)。)

(iii)图象法:

f(a,x)≤0恒成立,等价于y= f(a,x)的图象在x轴下方。

对于本题,只能使用方法(i)。

在不等式③中令x=y=1,得a≤2;

在不等式③中令x=1,y=-1,得

a≥-2,所以-2≤a≤2。

下面证明,当-2≤a≤2时,不等式③恒成立。

实际上,当xy=0时,不等式③显然成立。

当xy>0时,因为(x-y)²≥0,

所以x² y²≥2xy,

所以≥2≥a,

此不等式两边同乘以xy,

得x² y²≥axy。

当xy<0时,因为(x y)²≥0,

所以x² y²≥-2xy,

所以≤-2≤a,

此不等式两边同乘以xy,得

x² y²≥axy。

所以无论哪种情况,都有不等式③成立。故a的取值范围是[-2,2]。

具体解答如下:

【新写】(1)证明:在“函数方程”中

令y=0,x=-1,

得f(-1)f(0)= f(-1),

于是f(0)= 1。

再在“函数方程”中令y=-x,得

f(x)f(-x)= f(0)=1,

所以f(-x)=。

当x>0时,有-x<0。

于是,f(-x)>1,

即>1,所以0< f(x)<1。

(2)设x₁<x₂,则x₁-x₂<0。

结合题给条件,有f(x₁-x₂)>1。①

在题给“函数方程”中令x=x ₁,y=-x ₂,得

f(x₁-x₂)= f(x₁)f(-x₂)。

代入①式,得f(x₁)f(-x₂)>1。②

又f(x)f(-x)=1,

所以f(-x₂)=。

代入②,便有>1。

又由(1)的结论,f(x₂)>0,

所以f(x₁)> f(x₂),所以f是减函数。

于是,由题给“函数方程”,知

f(x²)f(y²)≤ f(axy)

等价于f(x² y²)≤ f(axy),

进而等价于x² y²≥ axy。(*)

在不等式(*)中令x=y=1,得a≤2;

在不等式(*)中令x=1,y=-1,

得a≥-2,所以-2≤a≤2。

下面证明,当-2≤a≤2时,不等式(*)恒成立。

实际上,当xy=0时,不等式(*)显然成立。

当xy>0时,因为(x-y)²≥0,

所以x² y²≥2xy,

所以≥2≥a,

此不等式两边同乘以xy,得

x² y²≥axy。

当xy<0时,因为(x y)²≥0,

所以x² y²≥-2xy,

所以≤-2≤a,

此不等式两边同乘以xy,得

x² y²≥axy。

所以无论哪种情况,都有不等式(*)成立。

故a的取值范围是[-2,2]。

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