魔方与数学：排列组合
魔方复原的困难，一方面在于其打乱后存在着大量的组合。组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8！种组合，又可以翻转，每个角块可以具有3种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8!×37种组合；12个棱块可以互换位置，得到12！，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12!×212/(2×2)种组合。联合起来，得到魔方的所有可能组合数为：
8!×37×12!×212/(2×2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33×10的19次方或者4325亿亿种变化，这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这是当前宇宙年龄的约10倍。
实际上，如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达5.19×1020种。也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状。所以如果魔方被拆散，安装时应按复原状态安装，否则极可能会无法复原。
魔方复原的另一个困难来自于我们只能安装特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这种限制大大加大了复原魔方的难度。但是魔方的还原也并不是没有技巧，如今在网上搜索“魔方还原”就会出现各式各样的方法，“番茄魔方”网站中详细的罗列了各类魔方的拼接法，以及快速还原魔方的方法，有兴趣的小伙伴可以前去学习。
魔方与数学：群
群论是数学中的一个重要分支，有着广泛的应用。理解群论是困难的，它是部分专业的研究生课程。不过，魔方这个大众化的玩具为理解群论提供了帮助。
首先，用小学生就已熟知的概念说明什么是群。考虑所有的整数以及加法运算，我们能发现如下几个简单的事实：任意两个整数相加所得结果仍然为整数；加法满足交 换律；任一整数与零相加为其本身；任一整数存在相反数并与其相加结果为零。这四条性质分别称为：封闭性；结合律；存在单位元（注：这里的元意为元素，该例 中单位元为整数中的零。）；存在逆元。亦即群的定义为在某种操作下满足上述四个条件的元素的集合。本例中，整数在加法运算下构成一个群。
对魔方的所有独立操作也构成一个群，举一个最简单的例子，对魔方任意面的操作构成一个群，这个群包含四个元素：空操作，记为M0；顺时针旋转90°，记为M1；逆时针旋转90°，记为M-1；旋转180°，记为M2。群运算为任意两个操作的联合操作，例如M1M2，意思为先对魔方某面顺时针旋转90°，再旋转180°。很容易证明这四个元素满足上述四个条件：封闭性、单位元（即M0）、逆元（M1 与M-1互为逆元，M0与 M2的逆元是其本身）都是显然的；对结合律，明显有M1 (M-1M2)= M1 M1= M2，而 (M1 M-1)M2= M0 M2= M2。
对魔方的所有操作，情况复杂一些，但同样可以证明他们构成一个群。
引入群论的一个重要作用在于群论在研究对称性方面的突出优点，考虑魔方的对称性，我们马上发现前面所说的4.33×1019种组合含有极大的水分，他们中有很多其实是完全相同的，只不过是从不同的角度去看而已。考虑了对称性，魔方的实际组合数马上减少到上述数字的1/96。这对魔方的研究提供了极大的帮助。
上帝数字
很显然，任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原，那么，问题来了，是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N？也即，如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原，这个N具体为多少？这个数字N被称为上帝数字，从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来。
寻找上帝数字最直接的办法是对魔方所有的组合情况，对其进行复原并得到所有的最少转动次数N，所有的N中最大的一个便是我们要寻找的上帝数字。但是，如前所述，即使考虑了对称性，魔方的组合情况依然是个天文数字，即使今天，利用世界排名第一的超级计算机，对其进行计算也不现实。
但这难不倒天才的数学家，上帝数字的值从1982年提出时估计的17~52之间，范围逐渐缩小，去年，一个研究团队在Google提供的计算资源支持下，最终证明上帝数字为20。也就是说，对任意的魔方，我们都可以用20次或者更少的转动将其还原。这听起来很不可思议，但已经被众多的魔方玩家所证实。
当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特定的步骤。一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如CFOP法，需要学习记忆119个公式，平均只需55次转动便可复原魔方。
就三阶魔方而言，“番茄魔方”网站给出刘岑滋老师和“扫地僧”一面之缘还原法教程，使用最少的转动次数，花费更少的时间对三阶魔方进行拼接还原。
数学是一门充满魅力的学科，在它复杂表面的背后，隐藏着大量极其简单、漂亮的规律。有趣的游戏、手头的玩具，往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律；而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现。
