真正好的教育是将复杂的东西简化，强化基础概念和实际应用，弱化具体计算和逻辑证明，最终让普通学生也可掌握相对深奥的理论知识，并迅速转入实际应用。
国内的教育正好相反：强化具体计算和逻辑证明，却弱化了基础概念和实际应用，最终生产了许多解题高手，但他们完全不懂这些数学“有什么用？”。
作为高等数学的主要分支----微积分，是高等数学的基础，也是几乎每一个大学生都绕不开的学习难点。要想学好微积分，得先知道微积分是干啥用的。
1、微积分是研究变量运动过程的一种数学工具
数学是一个工具，是一门语言，是用来精确描述客观世界运动变化规律的基础学科。没有数学的介入，其他学科只能用自然语言来宏观描述、解释、推断，只能是一种哲学。只有数学语言的不断介入，才能抽象出其规律和本质，慢慢地成为科学。
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切。它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它从逻辑上被严格地证明了的时候，才能在数学中成立。在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论。
初等数学是用 静止 的方法研究客观世界的个别要素，或者说是把客观世界的运动过程假定为是常量来进行研究的，如采用保持速度不变或平均速度或分段（每段的量保持不变）讨论方式来说明运动过程。
高等数学是运用 运动 和 变化 的观点来探究事物变化和发展的规律。有了变数，可以用变量数学来研究变量运动，有关变量运动的哲学也因为数学的进入而成了科学，微分和积分就是研究变量运动的数学工具，也只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。
2、微积分是一个升维或降维的运算过程
小学生都知道千里之行始于足下，但对其深刻的数学和哲学意义并没有太多感悟。也开始接触积点成线、积线成面、积面成体，但也只是对常量的一般理解，如线的长度、底乘以高等于面积、底面乘以高等于体积等，其实这也是常量的一种累积，一包打印纸的体积是一张张累积起来的，是一个量在另一个量上的积分。
那如果是一段曲线、不规则平面和物体呢？就成了一个变量在另一个量上的积分，或者是两个变量在另外一个或两个量上分别积分的累积。反过来就是微分，就是一个变量在一个方向或一个量上的变化率。所以微积分不只是求面积、求斜率的，而是具有广泛的应用性，只要叠加或剥离一个影响因子，都可以用积分或微分方法来做到。
积分是提高一个维度，是一个变量在另一个量上的运动（变化）累积。掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量；……。最终的结果都是各自包含的变量要素在另一个要素上的变化累积，是在原来变量维度基础上增加了一个维度。
微分是降低一个维度，是找出最终结果在其一个要素运动变化过程中的瞬时变化率。掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量；……。最终结果是找出剥除其中一个要素（不受这个要素影响）后的其他影响因素，是在原来维度基础上减少了一个维度。
3、要了解微积分的发展历史，掌握其前世今生和来龙去脉
要想更好地理解、把握一件事物，还得去了解、学习它的历史，把握事物发展的来龙去脉。对于一个民族、国家、社会是这样，对掌握自然科学知识、学好一门学科也是如此。古往今来自然科学的发展，是每一代科学家在原有建筑的基础上，或推翻、或添加，形成新的建筑。
从公元二世纪托勒密的“地心说”到十六世纪哥白尼提出“日心说”，经历了一千四百年左右。而以二千多年以前的古希腊数学家命名的欧几里得几何，至今还在发挥着重要的作用，其中的勾股定理被人称为千古第一定理，一直被高度颂扬、反复应用。
这些历史不只是过去了的人和事，还应该是现实的一部分，事物发展的前世今生是有机联系的一体，历史是深度嵌入到我们对现实的理解中的，这种历史感对理解和把握任何事物都是非常有用的，也自然对我们当前学习数理化，加深对科学知识的认知和理解会有非常大的帮助。
《同济高数》用很准确的语言把极限“D-E”定义摆出来，但是没有说明这个定义的来龙去脉，因此很多学生都看不懂，甚至相当一部分学生都无法准确发音 delta -epislon，更别说理解到“为什么要用D-E来代表极限？不能用其他符号吗？”。而实际上 D-E 在古希腊字母中仅仅表示字母表的第四个和第五个字母，没有任何特殊的含义，主要是ABC 都被欧几里得霸占在几何学里，没办法用了，被迫无奈采用了 D-E。
而在美国教材中，原作者用了一大段很简单的语言和几幅图片，将极限进行了解释“Limit is an active approaching process, it is not a stillreal-valued number nor variable, no matter how close you are, you will neverreach that target ”。极限这个概念在牛顿---莱布尼茨的时代还没有出现，因为极限涉及到的数学原理其实很复杂，仅仅是“连续性”和“光滑性”这两个看起来很简单的名词，就让整整一个世纪的数学家废寝忘食，夜以继日，才得出结论。
而至于我们今天看到的D-E定义，更是牛顿死后近两百年才被德国数学家威尔斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求“证明”，只要求“了解”极限的意识形态。《同济高数》对于一元微积分几乎完全没有实例，而对于极端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥几页纸，并且还带了一个星号，给人一种“欲练此功，必先自宫”的恐惧，sinhx,coshx 就是由 E^X 跟它的反函数E^(-X)进行线性组合得到的，简单吧？但是同济直接忽略了 y=e^x 的教学，实际上 y=e^x 是微积分中最简单，也是最重要的函数族。正因为这个特点，对它们的求导/求积就非常简单，特别是后期学习无穷级数，泰勒展开式，向量微积分，开普勒三大定理，概率的MGF，都时时刻刻体现出 y=e^x 的巨大威力。
4、除了同济数学，多看一些其他优秀的教材和相关书籍
同济高数的编者，用了反人类的思维方法来开展教学。比如对y=x^n的求导教学，同济是直接拿定义出来，先把它证明了，再举例告诉学生这个定理可以直接使用。台下的学生一脸问号……
难道大家不会觉得这是跟正常思维相反吗？美版教材就是先带领我们学会y=1的求导，然后y=x的求导，然后y=x^2的求导，然后y=x^3的求导，然后作者Stewart循循善诱地问同学说"now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe thederivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"最后他才会摆出严密的定义，并证明。此时，学生也在过程之中学会了“由特殊到一般，再由一般到特殊”这样一个非常重要的数学思维。相对应的求积也一样，先计算y=1的积分，然后y=x的积分，然后y=x^2的积分，然后y=x^3的积分，最后再问学生"now do you see any pattern among these process ?Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what abouty=x^n?" Stewart从来不会直接甩出一堆晦涩的证明，而是先从几个简单的例子，引导学生去 GUESS 这样的结论是否具有一般性，并且证明自己的GUESS 是对的还是错的。Stewart 所用的例子都很简单，并没有太多的技巧和套路，但是这样的效果却非常好，由浅入深的帮助学生"explore the unknown"，这才是一名优秀的老师所应有的态度和水平。
多年后，或许你会忘记多元积分的公式，你也会忘记Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你还记得推理的方法，你就很容易在几分钟内完成这一个过程。李开复曾经说到“忘掉你所学的一切公式和定理，如果你还能利用自己的理解去推理出来，那就说明你的学问已经到家了。”
美版教材同时附带了大量的一元微积分习题，只列举简单的入门习题：
（1）固定的鱼塘里放入一定数量的鱼苗，在足够营养下，鱼苗不会无限增长，而是指数增长，利用微积分知识，就可以求出相应的增长数量。
（2）博尔特在一次110米栏比赛中，总用时12秒，那么问你，他在4.5秒的时候，具体的瞬间速度是多少？同样前提条件下，博尔特在8.5秒的时候，已经总共跑了多少米？最后就会问，有什么方式把上面两个不相*问题联系起来？
（3）某降血压的药物，给高血压病人吃了后，检测得血压下降的速度与药物浓度有直接关系，利用微积分就可以求得，吃多少的药物，才是有效的安全范围。
（4）化学反应中，某元素反应时间跟元素浓度呈正比关系，但是明显不是普通的线性关系，利用微积分，就可以求出某时间的浓度，或者完全反应所需的时间。
（5）发射地球同步卫星，需要多少做功，某瞬间需要多大的速度，如何确定速度跟做功之间的关系，在简易条件下如何检验相对论的正确性。
（6）水面的波浪从中心点向外扩张，呈 sinhx 的轨迹；而悬链线的受力情况，却是呈coshx的轨迹，试用微积分知识进行简单说明。
（7）流体通过某管道时，其靠近管壁的流体速度会因为阻力二减慢，中心部分由于阻力较小而速度加快，试用微积分知识来解释为什么。
当然还有大量的变速的位移，变力做工，经济学的边际效应，价格弹性，资产定价模型（CAPM, WACC），旋转体的体积，等等都是《同济高数》所缺少的实际应用。正是因为这些栩栩如生的例子，学生才能深刻理解到微积分对于现代生活的巨大改变和意义。
否则，假如仅仅是把纯粹的数字翻来翻去，求导/求积，学生都会了，那然后呢？难道学了微积分就是来做一个人工计算器吗？国内教材总是直接叫学生套用某某公式解题目，而忽略了公式之外的逻辑理解和推导能力，美版教材就基本相反，很强调对基本公式的推导和归纳能力，而降低对公式本身的依耐性。这是两种截然不同教育理念的冲突。
国内教材就像（授人与鱼），给你一堆公式和定理，让你照着用。美版教材就像（授人与渔）给你一种发现公式和定理的思维，让你学会自己归纳总结。它首先就会告诉我们：《微分学》研究“instantaneous, incremental and related changes” 的问题；而《积分学》研究“output from irregular input ”的问题。《微积分》的本质就是研究"active variable"的问题，教材特别多次强调“the significantdifference between calculus and algebra and geometry is that calculus isdealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is working on stillvariable”.
另外，同济《线性代数》，浙大《概率统计》这两套教材也是被国人视为瑰宝，但又敬而远之。相当大量的学生反映：“《概率统计》由于比较具体，还勉强看得懂。但是《线代》实在太抽象，所以很多学生反应无法理解”。因为这两套教材也十分抽象和理论化，缺少很重要的PREFACE，让学生在学习之前能对本学科有一个 FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。
美版教材无论如何都会有这些东西，并且开篇就告诉你《线代》研究的对象是“vector, especially COLUMN vector”，并不是所谓的“matrix”或者“determinant”或者“eigen value”，并在一开始就对向量进行了细致的教学，从加法、减法，二维图示，三维图示，到dot product，到cross product，到matrix，到determinant，最后才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。
非理工科的学生，学到这里就差不多了，后面vectorspace 和 orthogonallity ,比较抽象，难度也大，可以有选择地放弃。
至于最重要的rank , nuliity, dimension ,同济并没有说清楚。如果是一维的，那就是两个向量共线；二维的，那就是两个向量形成一个四边形；三维的，那就是三个向量形成一个体积；四维以上的，照样是体积，但是一般不讨论。而所有的“行列式”、“矩阵”、“秩”、“通解”、“特解”、“特征向量”，“特征值”，等等名词，都是rref 后围绕COLUMNvector 展开的运算而已。
但是由于《同济线代》根本没有这些基础知识做铺垫，导致学生基本看不懂教材的内容。就相当于：让学生去建造一栋摩天大楼，但是不让你打地基，直接就在平地施工建造第一层。
实际上非理工类本科阶段的《线性代数》是非常简单的，是最基础的加减乘而已，但是（很多）学生却说不清楚 column space 和 rowspace 的区别，这就直接导致后期学习捉襟见肘，举步维艰。
浙大的《概率统计》相对来说比同济优秀太多了，但还是存在非常致命的缺点。
首先，是体系太混乱，竟然对于discrete/continuousRV 的最基础术语(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。
其次，是教学太浅显，所有的实例都是一笔带过，对于大名鼎鼎的Poisson（），和Exponential () 甚至都没有说明白之间的微妙关系，简直不如维基百科。
美版的《概率与统计》对一维的变量分布进行了非常细致的教学，五种discrete/continuous RV ，及其相关的mean，variance，median, skewness。每一种分布都配了至少五道例题，每到例题都有详细的解答思路和完整的mathmatical induction，几乎占据了一半的教材内容，并附带有非常丰富的课后练习。
而对于更加复杂的二维变量，及其mean，cor-variance，co-relation,教材反而用了较少的版面，因为二维不过是两个一维变量围成的一个面积而已，其他并无明显差异，只要先扎扎实实学好一维的，二维的问题就变得很简单。
美版教材特别说明了几个问题“Poissondistribution looks very complicated at first, but it is actually the discreteversion of Exponential distribution, which is very easy to calculate. ButExponential distribution, together with its brother Erlang distribution, isalso a simplified version of Gamma distribution. But the most interestingfinding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gammadistribution as well as a special case of Norma distribution, which means tosome extent, all the important distributions can be related to Normaldistribution ! ”
其实越是学到后面，越会发现“向量”的重要性，它即出现在《线代》，也出现在《概率》，更出现在《高等微积分》中，可以说“向量”，是连接“可感知世界”与“不可感知世界”的桥梁，是数学的“核武器”。
教材推荐
以下教材是全英文的，对英语有较高的要求。他们难度适中，编写合理，循循渐进，很适合基础较差的经管类、或者理工科的大学生。
如果是初学者，请一定按照“微积分---概率论---线性代数”的流程来学习，因为“求导/求积”的运算是后期概率运算的基础。
但是在《概率统计》和《线代》中，后面几章难度大，并且跟其他学科联系较少，所以一般学生看看即可，不需深入。
由于《微积分》彻底催化了物理学和化学，因此顺带推荐三套优秀的理科教材。如果把《微积分》学好，再去学物理学或者化学，那几乎是摧枯拉朽、风卷残云一般的容易。
目前，人大和其他大学已引进并且出版了一些数学基础教材，可见，已有更多专家学者，深深感到了中美高等教育的巨大差距。
《微积分》《概率论与数理统计》《线性代数》《基础物理学》《大学物理》《基础化学》《大学化学》《基础生物学》《大学生物学》
当然，优秀的教材还有很多。
同时推荐一套相对来说比较“偏门的”书，是因为这些书虽然对考试没用，但是对于理解本学科，具有巨大的意义。对于特别重要的核心内容有深刻的解释，从时间轨迹来说明科学家是如何把生活中的“现象”，高度提炼成为具体的“公式”，并用这些公式来改变了整个世界。推荐给有志于深入学习的学生看一看，虽然数字论证比较晦涩，但是可以不看数学证明，仅看发展过程，当作小说读一遍也会受益匪浅。
《数学史》《化学简史》《物理学史》《科学史》《科学发现者：物理原理与问题》《科学发现者：化学概念与应用》《科学发现者：生物生命的动力》《科学发现者：地理环境与宇宙》
日本版的一些相关漫画、简易读物也对学习、理解大有帮助。
5、多做一些练习，熟练掌握方法
《高等数学》作为一门高度完整严谨的学科，终究要靠埋头苦读和日夜刷题才能学到真功夫。衷心地希望大家还是能改变对数学的偏见和仇恨，掌握一个可以有效前进的方向，让高数不再那么高不可攀，让所有人都感受到数学之艺术和威力。
倘若将学习比作练武的话，那么教材就是练功秘籍，老师就是练功师傅。优秀的秘籍和师傅能让你事半功倍、文武双全，而劣质的秘籍和师傅则让你走火入魔、身败名裂。但缺了自己的勤学苦练，最终也会出现或半途而废，或误入歧途的不同结果。秘籍已经给你们提供在上面，但路始终在自己脚下，最终修炼成为丐帮帮主，亦或星宿老仙，就看各位自己了。
其实，大多数人在毕业后的工作里，大学数学并没有太多直接发挥的途径。能接触到的几乎所有的计算和设计，都交给了计算机处理。但是在学习数学的过程中所得到的“严密的推理”和“精确的结构”和“顽强的意志”，这三样东西将会在各自的职业生涯中发挥巨大的无形价值，无论你的职业，专业，性别，年纪，当你以后遇到困难和挫折，静下来想一想，当年数学都可以掌握，难道还会惧怕眼前的苟且吗？
说到底，数学给你带来的，除了逻辑思维，其实更多的是众神之上的“信心”。
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