欧拉公式图片,欧拉公式大全

图4

这是我们下面需要用到的引理，我们以列表的形式单独列出来。

接下来我会提到两种证明方法。

法一

我们前文关注到格点多边形的面积是0.5的整数倍，这确实是一个很本质的洞见，这是因为——

引理1 如果一个格点三角形内部和边上（除顶点外）都没有格点，则它的面积为.

这个结论可以通过如下结论得到：

引理2 设二阶整数矩阵

若逆矩阵也是整数矩阵，则其行列式必定取值为

所谓行列式，对于二阶矩阵而言形式非常简单：

图5：线性变换将平面上和两个基向量映射为红色、绿色的基向量

证明：我们定义一个线性变换如上图，线性变换将正方形网格变成平行四边形网格，我们假设平行四边形四个顶点也落在整数格点上。显然，这个线性变换存在逆映射，由逆矩阵公式：

而且依条件逆矩阵也是整数矩阵，于是分母必须为：

引理2证毕。

而行列式的几何意义恰恰就是平行四边形的有向面积，即三角形有向面积的2倍。于是，引理1中的三角形面积为

图6：行列式与平行四边形面积

这意味着我们总可以将格点多边形拆分成面积为的小三角形，然后化为平面图，利用平面图的欧拉公式计算即可。我们考虑除去多边形外面的无界区域，设.

这个三角剖分的顶点数是；面数也就是三角形数是；全体棱分两类：一部分是多边形边界上的，一共有条棱（封闭的折线边界上的个顶点就把边界分割成条棱）；一部分是多边形内部的，每条棱都是两个面的交线，每个面有三条棱。计算棱的总数有等式，再加上欧拉公式，就解得

法二

图7体现了第二种方法的证明思路：把格点图形包起来，变成一个圆环面，然后格点就是天然的剖分，借用闭曲面的欧拉公式。

图7：将平行四边形粘接为圆环面

事实上，我们只需证明格点三角形符合公式即可。格点多边形总可以拆为若干格点三角形。多边形两边依照格点重合，则每个边界点重合为个内点，这依然符合公式。

对任意格点三角形，考虑与之翻转对称的另一格点三角形，将两者沿任意一条边粘接，形成平行四边形的面积是原格点三角形的2倍。对该平行四边形两条对边同向粘接，其结果同胚于一圆环面。此时圆环面上的格点诱导出一个正方形网格剖分：原格点是剖分的顶点，临近格点间的连线是棱，正方形格子是面。

设格点三角形的内点个数为，边界点个数. 以下是两三角形粘贴为平行四边形，再粘贴为圆环面的过程：

：原来个内点始终是内点。设三角形重合边其上有个非角点边界点，重合后，个角点化为平行四边形个角点，非角点边界点损失个，合成的个点转化为圆环面的内点。

：平行四边形所有的边界点化为圆环面的内点——个角点化为个内点，非角点边界点自我重合减半，故而圆环面的顶点个数：

棱数为，因为每条棱对应两个顶点。格子的个数是面数，恰恰是所求的面积的倍，即. 由环面的欧拉公式（亏格）

将上述数据代入计算得：

得证。

遗憾的是，皮克定理不能直接推广到高维的情况，也就是说：我们不能通过高维格点多面体的内点、边界点而计算其体积。如下图，位于单位正方体内的两个没有内点的四面体，