实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解

首页 > 经验 > 作者:YD1662023-11-03 10:56:48

实数完备性有六大基本定理,它们是互相等价的。这六个基本定理分别是,确定原理,单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,以及柯西收敛准则,全部都在《老黄学高数》系列视频中介绍过了。剩下的就只是证明它们等价的工作了。

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(1)

在《老黄学高数》第73讲中,老黄用确界原理证明了单调有界定理;《老黄学高数》第213讲中,又用单调有界定理,证明了区间套定理;然后在218讲中,用区间套定理证明了聚点定理,顺序有点跳跃了;不过第221讲中,老黄又用区间套定理证明了有限覆盖定理;第219讲,用聚点定理的推论证明了柯西收敛准则,虽然用的是推论,而且只证明了充分性,不过也算完成了由聚点定理到柯西收敛准则的推导了;第215讲中,还用区间套定理证明了柯西收敛准则。

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(2)

这篇文章,老黄先用柯西收敛准则证明确界原理。下一篇作品,老黄再用有限覆盖定理证明聚点定理。这样就完成了一个循环的证明,从而证明了六个基本定理是互为等价的。

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(3)

你还记得数集的确界原理吗?

数集的确界原理就是:数集有界就必有确界。简单说成“有界必有确界”。有界是条件,有确界是结论。

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(4)

接下来,用数列的柯西收敛准则证明确界原理.

证:设S为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性,对任何正数a,存在整数ka,使得λa=ka*a为S的上界,【即对任何两个实数,一个是任取的正数a,另一个没说,是靠想像出来的,它是S的一个足够小的上界也可以,是S中一个足够大的元素也可以。那么就一定存在一个整数ka,使得ka和a的积,成为S的上界。即,使得ka和a的积大于S的一个足够小的上界,所以这个积就成了S的上界,又或者大于S中任何元素,这个积也会成为S的上界。

而λa-a=(ka-1)a不是S的上界,即存在a’∈S,使得a’>(ka-1)a.【这个ka是一个恰如其分的整数,小一个整数单位,得到的数就不是S的上界了。阿基米德他老人家早在两千多年前,就告诉我们,这是可以做得到的啦,所以你也不需要疑惑,能够想得明白最好。不是上界,就说明S中有一个元素a',比它大。有了这么一个规律,我们就可以充分地把它利用起来】

分别取a=1/n, n=1,2,…,则对每一个n,存在相应的λn,

使得λn为S的上界,而λn- 1/n不是S的上界,故存在a’∈S,使得a’>λn- 1/n.

又对正整数m,λm是S的上界,【折磨完n,再折磨m,反正哥俩都是正整数,所以n对应的有λn, m就有λm,它也是S的上界】

故有λm≥a’,∴λm>λn- 1/n, 即λn-λm< 1/n,

同理有λm-λn<1/m,【同样的道理,上面的戏路重复一遍,换m做主角,n做配角就可以了】

∴|λm-λn|<max{1/n, 1/m}.

于是,∀ε>0, ∃N>1/ε ,使得当m,n>N时,有|λm-λn|<ε.

由柯西收敛准则,数列{λn}收敛,记lim( n→∞)λn=λ.

∵对任何a∈S和正整数n, 有a≤λn, ∴a≤λ, 即λ是S的一个上界.【对S内的任何元素a,和任意的正整数n,因为λn的每一个元素都是S的上界,所以不小于a,由极限的保不等式性就可以知道,极限λ不小于常数列a的极限a,如果这是λ的解集,λ就是S的上确界,可惜它不是,而只表示λ和a的大小关系而已,所以现在λ也只证明是S的一个上界而已,下面证明它就是上确界】

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(5)

对任何δ>0,由1/n →0(n→∞)知,【这里用正数δ代替常用的ε】

对充分大的n同时有1/n<δ/2, λn>λn- δ/2,

又λn- 1/n不是S的上界,∴存在a’∈S,使得a’>λn- 1/n ,即有a’>λn- δ/2- δ/2=λ-δ.

∴λ为S的上确界. 【上确界的定义一定要好好理解,通常点说,上确界是上界的最小值,只要再稍微小那么一点点,不管这一点有多小,得到的数都不再是数集的上界,那么这个上界就是数集的上确界】

同理, 若S非空有下界,则必存在下确界.

实数完备性的通俗理解,实数的完备性怎么理解(6)

综合起来,就是“有界则必有确界”的确界原理了。好难!是吧?难就多看几遍,好好思考,就会懂了。数学越抽象难理解的问题,其实本质上是越简单的。

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