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“橡皮泥几何”入门
我在大学学习拓扑时，总是不可避免地会遇到朋友和亲戚们的提问：
“拓扑到底是什么？”
这个问题很难回答，每次我都会给出略有不同的答案，但是答案总是不那么令人满意。如果你曾经在网上搜索过拓扑，你肯定会遇到将甜甜圈变成咖啡杯的动画，同样，我给出的答案也都与此相关：为什么甜甜圈跟咖啡杯在拓扑结构上是一样的，立方体和球体拓扑上也是一样的。但是这样的答案并不能真正解释真实的拓扑是什么，拓扑怎么应用以及其真正的价值是什么。
著名的咖啡杯和甜甜圈动画 | wiki
如果你有学到一般拓扑学的本科课程，可能会难以将所学的东西跟熟悉的甜甜圈和咖啡杯动画联系起来。这篇文章的目的是建立一般拓扑的基本概念，并说明拓扑跟熟悉的动画以及其他几何思想之间的联系。接下来，我们来了解，为什么将甜甜圈和咖啡杯视为一样的东西会是有用、有价值的。
总的来说，我发现很多人（包括我自己）都在努力尝试去理解：怎么才能将抽象的数学应用到实际的现实中。在了解拓扑的基本思想之后，我们可以重新思考真实世界，也许会产生出乎意料的结果。在此之前，我们将介绍拓扑的基本概念，这也是了解拓扑必不可少的定义。
拓扑空间
拓扑空间是具有最基本的结构的一组数学对象。数学中的结构通常意味着：数学对象之间的相加、相乘、距离或其他的概念。显然，这些结构适用于我们日常中遇到的数字。
但是，拓扑空间的结构比加法、乘法和距离的思想更加基本。事实上，这些数字所在的空间是拓扑空间的一个特定情况，也就是说，实数实际上是拓扑空间的一个特殊情况。
拓扑空间上的结构称为空间拓扑。所有的拓扑都是数学对象的子集的集合，称为空间的“开集”。拓扑中包含的特定集合定义了空间的结构，这概念似乎很模糊和抽象，这是因为事实就是如此，这是数学中最抽象的结构形式。
当然，你不必完全理解此定义，只需记住拓扑及其内部的“开集”可以确定空间的结构。同样重要的是，使一个拓扑空间与另一个拓扑空间区分开的，是我们选择放入该空间拓扑中的集合。如果你感兴趣的话，以下是拓扑更加正式的定义。
拓扑空间定义
拓扑空间（X，τ）的数学对象集合是 X，空间拓扑是 τ，τ 包含 X 的一系列子集，满足下列条件：
1. X 和空集包含在 τ 中。
2. τ 中集合的任何并集也在 τ 中。
3. τ 中集合的任何有限交集也都在 τ 中。
那么，这怎么跟甜甜圈和咖啡杯联系起来呢？
通常，拓扑空间可以通过几何对象（例如球体）可视化：
图1 ：球体
表示球体的拓扑空间是一些点的集合，如果将它们绘制在三维空间中，它们将构成一个球体以及一个拓扑。如前所述，拓扑定义了空间的结构，正是空间拓扑让这个球聚在一起不散开。我们可以将拓扑想象为“使所有点都不会掉落到地面上的事物”，它让球体保持单个物体的状态，而不仅仅是两个半球挤在一起。现在，设想一个如下图所示的拓扑空间：
图2：椭球
假设上面的球体（图1）是用橡皮泥制成的，那么我们可以轻松地将球体拉伸变成另一个对象椭球（图2）。三维对象能够执行此操作意味着这两个对象在拓扑上是相同（等价）的。这可能看起来很奇怪，但是仔细想一想，这两种形状有什么不同？虽然它们看起来不同，但是如果我们可以轻松地将它们挤压或拉伸实现形状的变化，它们是否真的是独特的？
这两个对象具有相同的拓扑，这意味着，即使这两个对象在几何形状上有所不同，但它们在拓扑上完全等价。我们可以将橡皮泥拉伸成可以想象的任何奇怪形状，但在拓扑结构世界中，所有这些形状都完全相同。也许你对拉伸的形状没有什么概念，但是关于如何拉伸橡皮泥的游戏有一些规则：
不允许在橡皮泥上打洞；
不允许将橡皮泥上的两点捏合在一起（我们没法将球形的橡皮泥做成甜甜圈的形状）。
如果我们在拉伸时违反了这些规则，那么这两个对象在拓扑上将不再等价。拓扑学家称这种不破坏既定规则的拉伸为同胚，这只是一种数学上精确地描述如何让橡皮泥的形状保持相同拓扑性质的方法。因此，如果我们可以得出两个拓扑空间之间的同胚性，则这些空间具有相同的拓扑，这就说到了咖啡杯和甜甜圈动画。
我们可以提供一个描述甜甜圈的拓扑空间，然后想象我们的甜甜圈是由橡皮泥制成的，然后在不破坏规则的情况下，将其拉伸到咖啡杯的形状。所以，是的，在拓扑结构上，咖啡杯和甜甜圈是同一件事。
