前面，我们在《无理数的认识》那一讲中曾经谈到，人们知道无理数已经有很长的历史了，可是要清晰地表达无理数却是相当困难的。事实上，要能够清晰地表达无理数，首先要变换有理数的表达方式。我们曾经称可以表示为m/n的数为有理数，其中m,n∈Z，n≠0。当然，在这个基础上是可以定义无理数的，比如，称不能表示为分数形式的数为无理数，但是这个定义实在是很难判断，特别是与数轴之间很难建立起对于关系。因此，我们首先建立能与数轴对应的有理数的定义，这就需要用小数来定义有理数。那么，分数与小数之间有什么关系呢？一个(0,1)上的小数可以一般地表示为
A=0.a1a2...ap （1）
或者
B=0.a1a2...ap... （2）
两种形式，其中a1，a2，...，ap是取值0或者1到9的自然数。我们称A为有限小数，B为无限小数。可以发现，有的分数可以化为有限小数，有的分数虽然不能化为有限小数，但是去能化为循环的无限小数，比如，
1/2=0.5
1/3=0.333...
1/6=0.1666...
1/7=0.142857142857...
等等。这个表达是不是具有一般性呢？也就是说，是否“所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数”呢？答案是肯定的，我们来证明这个结论。
考虑分数m/n，不失一般性，我们假定m<n。如果这个分数能够化为有限小数，那么，结论成立。如果不能化为有限小数，用m除以n必有余数，并且这个余数只能取1和n-1之间的整数。由除法的运算法则，有余数后的除法都是加0填位，因为运算规律是一样的，因此，最多n次运算后，某个余数必然还要出现第二次，并且以后都是以周期形式出现，这就形成了循环小数。于是我们证明了：所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数。
那么，现在是否就可以用“有限和无限循环小数”来定义有理数呢？为时过早，如果要对一个已有的定义构造一个新的定义，那么，这个新的定义的前提与结论必须是充分必要的，因为只有这样才能保持定义的等价性，为此，我们还需要证明“有限小数或者无限循环小数都能化为分数”。由（1）式，一个有限小数可以写为
A=a1/10 a2/102 ... ap/10p
这显然可以对应于一个分数。一个无限循环小数可以分为两部分，一部分是前面有限个（可以是0个）不循环项，然后是无限个循环项，不失一般性，我们假定无限循环小数是由循环项构成的，这样，（2）式可以写为
B=0.a1a2...ap a1a2...ap a1a2...ap...
=a1(1/10 1/10q 1 1/102q 1 ...) ... aq(1/10q 1/102q ...)
=C(1 1/10q 1/102q ...)
其中，C=0.a1a2...ap，括号中是一个等比级数，公比是1/10q，其中q≧1。用sn表示前n项部分和，即
sn=1 1/10q 1/102q ... 1/10nq
=[1-1/10q(n 1)]/(1-1/10q)
因为1/10q<1，容易验证当n→∞时sn→1/1-1/10q，因此
B=0.a1a2...ap/1-1/10q
这显然是一个分数，因而是一个有理数。
现在，我们可以给出有理数的基于小数的定义了：“有理数是有限小数或者无限循环小数”。进而可以得到无理数的定义：“无理数是无限非循环小数”。在这个基础上，可以得到实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”。我们用R表示实数的全体所构成的集合。我们终于把实数刻画清楚了，并且还知道实数是与数轴上的点对应的。
我们还需要通过建立实数的运算来检验这种实数的定义是否合适。显然，这个运算是以有理数的四则运算为基础的，而重点是解决无理数的运算。以√2与√3的运算为例，下面是利用计算器计算的结果。由√2=1.4142135...和√3=1.7320508...，可以得到
√2 √3=1.4142135... 1.7320508...
=3.1462643...
√2•√3=（1.4142135...）•（1.7320508...）
=2.4494896...
因此，利用“无限非循环小数”定义无理数进行四则运算是可行的。事实上，在计算机中就是这样进行运算的。
但是，我们应当如何证明√2•√3=√6呢？当然可以计算出√6=2.4494896...，虽然这个结果与上面的计算结果很接近，但是这样依赖验证的方法来证明无穷的情况是不合适的，并且得不到一般性的结果，即无法证明对于所有的正实数a和b均有√a•√b=√a•b。所有，用无限非循环小数定义无理数是直观的，对于运算也是可行的，但对于给出证明，特别是给出一般性的结果是不方便的。
为了解决上面的问题，从魏尔斯特拉斯开始，以后有许多数学家，包括德国数学家戴德金，康托，在1872年左右几乎同时发表文章，建立他们的实数理论。接下来，我们一起来了解一下两个主要的方法，他们是“基本序列方法”和“戴德金分割方法”。
