图7：三维空间中克莱因瓶的表示 | youtube：Numberphile
严格来说，我们实际上无法在三维空间中观察到真正的克莱因瓶，但是通过允许其自身交叉，我们可以对它的性质有所了解。在四维空间中，该对象实际上并不与自身交叉。很难想象的是，它会在第四维度弯曲以重新连接到自身。克莱因瓶看起来像有内外两侧，但是你可以从一个特定点沿一条连续的路径走，你将经过克莱因瓶的“外部”和“内部”，最后回到原始点，这说明克莱因瓶的3D表示在拓扑上是同一个面。因此，克莱因瓶没有容积。
但是，关于克莱因瓶上的路径的一个有趣的事情是，如果沿着上述路径行走，当你返回到原始位置时，你实际上将成为自己的镜像。这是与克莱因瓶在拓扑上等效（或同胚）的对象的拓扑属性。显然，克莱因瓶对球体或甜甜圈不是同胚的，因为无论我们在球体或甜甜圈上行走的方式如何，当我们回到起点时，我们都不会成为自己的镜像。如果对象具有成为自己镜像的这种属性，则将它们称为不可定向的。克莱因瓶不可定向，球形和甜甜圈可定向。另一个著名的不可定向表面是莫比乌斯带，这个很容易用纸条制作，网上也有很多教程。
当螃蟹在莫比乌斯带上行走并返回其原始位置时，它就是其自身的镜像。资料来源：Wikimedia Commons
尽管莫比乌斯带不可定向，但它在拓扑结构上不等同于克莱因瓶，而且其结构是一个整体。虽然可以通过将两个莫比乌斯条的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但实际上在三维空间中这样做是不可能的（你可以尝试）。
用一张纸构造一个甜甜圈
研究在三维空间中难以可视化的对象（例如克莱因瓶）的拓扑的一种更实用的方法是考虑其粘合图，粘合图通过拉伸和粘合2D形状的边缘的方式，来指导我们如何构造具有特定拓扑的对象。
在考虑复杂形状的粘合图之前，首先考虑一个更简单形状的粘合图，甜甜圈：
图7：甜甜圈的粘贴图
我们假设图中的正方形是用橡皮泥制成的，然后想象一下拉伸正方形让对侧的边缘附着在一起或粘贴起来。当我们将这些边缘粘合在一起时，我们需要箭头指向同一方向。因此，我们将上图扩展如下：
图8：如何从其粘合图构造甜甜圈
下一个图类似于图 7，除了两个红色箭头现在处于相反的方向。这意味着我们需要扭曲对象，以便在将边缘胶合在一起之前，箭头指向同一方向：
图9 ：更复杂的粘合图
上图粘合图中的第一步是拉伸正方形，使两条蓝线相交，然后我们构造一个圆柱体，就像构建甜甜圈的第一步一样。甜甜圈粘合的红色箭头指向相同的方向，而现在，这两个红色箭头则指向相反的方向。这意味着我们必须以某种方式扭转圆柱体的一端，以使箭头在将它们胶合在一起之前指向相同的方向。你可能会想到，这在物理上是不可能的。因此，由该粘合图产生的表面在物理上也是不可能的。但是实际上，这是我们已经见过的物理上不可能的表面，克莱因瓶！
Source:Fouriest Serieson tumblr
粘合图是查看对象是否可定向的简单方法。我们可以想象在粘合图上行走与在“吃豆人”中的原理类似，当吃豆人到达世界的一侧时，它可以从另一侧出来。如果我们想象吃豆人在粘合图上移动，当它进入一侧时，它将从同一颜色的另一侧冒出来，而箭头确定了它前进的方向。
假设吃豆人进入圆环粘合图的右侧，那么它将从左侧出现。这就是正常“吃豆人”世界的拓扑工作方式。
