天元术是利用"元"这个字表示未知数列方程的一般方法,与现在代数学中列方程的方法基本一致,但写法不同,源于我大中国宋元时期的天元术。具体地说它首先要"立天元一为某某",相当于"设x为某某",再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式。然后,通过类似合并同类项的过程,得出一个一端为零的方程。
天元术的出现,提供了列方程的统一方法,其步骤要比阿拉伯数学家的代数学进步得多。而在欧洲,则是至16世纪才做到这一点。
01天元术产生的渊源
天元术产生的直接渊源,是道教的"天元"思想。首先,天元术渊源金元时期的山西、河北、山东一带,正是金元道教发展的活跃地区;其次,从天元术的主要贡献者李冶的生平事迹来看,其数学思想直接传承于道门隐士。
我国古代历史悠久,特别是数学成就更是十分辉煌,在民间流传着许多趣味数学题,一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来。其中就有许多方程题。比如有一首诗问周瑜的年龄:
大江东去浪淘尽,千古风流数人物。
而立之年督东吴,早逝英年两位数。
十比个位正小三,个位六倍与寿符。
哪位学子算得快,多少年华属周瑜?
依题意得周瑜的年龄是两位数,而且个位数字比十位数字大3,若设十位数字为x,则个位数字为(x 3),由"个位6倍与寿符"可列方程得:6(x 3)=10x (x 3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁。这些古代方程题非常有趣,普及了数学知识,激发了人们的数学思维。
在古代数学中,列方程和解方程是相互联系的两个重要问题。宋代以前,数学家要列出一个方程,如唐代著名数学家王孝通撰写的《缉古算经》,首次提出三次方程式正根的解法,能解决工程建设中上下宽狭不一的计算问题,是对我国古代数学理论的卓越贡献,比阿拉伯人早300多年,比欧洲早600多年。
02李冶促进天元术发展到相当成熟的新阶段
随着宋代数学研究的发展,解方程有了完善的方法,这就直接促进了对于列方程方法的研究,于是出现了我国数学的又一项杰出创造——天元术。
据史籍记载,金元之际已有一批有关天元术的著作,尤其是数学家李冶和朱世杰的著作中,都对天元术作了清楚的阐述。
李冶所著《测圆海镜》一书,标志着天元术的成熟,书中所发展的天元术理论和数学思想,对宋元数学的长足进步有着重要意义。今人白尚恕先生曾归纳总结出李冶《测圆海镜》在数学方面的十大贡献:
第一,一个文字按其不同位置及系数以表示未知数的各次项,使得由文词代数能顺利地演变成符号代数。
第二,第二,对十进小数的表示法,与现今十进小数表示法,只差一个小数点。
第三,利用乘法消去分母,使分式化为整式。这种方法与现今分式方程的解法相一致。
第四,利用乘方消去根号,使根式化为有理式。这种方法与现今无理方程的解法相一致。
第五,创立升位法或降位法,对某些特殊方程在解法上提供了方便。
第六,在某种意义上,对整指数幂与负指数幂的理解,与现今的理解比较相近。
第七,在所列方程的次数上,比唐初王孝通时代有显著的增高。
第八,所列方程突破了秦九韶"实常为负"的限制。
第九,对于筹式的写法,给四元术提供了有利条件。
第十,在书末出现了文词代数式的初步尝试。
例如《测圆海镜》卷二最后一题为例:
"或问:出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之。问城径几何?" 《测圆海镜》全书共含170个问题,均围绕"勾股容圆"而设,即都与直角三角形内切圆有关。这里,西门、北门是指圆城的西门、北门。
李冶给出的解题过程如下:
"立天元一为半径。置南行步在地,内减天元半径,得