如法开之，得半径，合问。"
易于用今天的代数语言对上述解题过程作出解释。如图1，设圆城半径为x，则
从李冶的天元术解题过程可见，多项式的写法是：只列出各项系数，按幂的次数从低到高的顺序，由下至上排列。一次项系数旁标一"元"字（有时也在常数项旁标一"太"字），上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面为常数项。例如，图2（采自《测圆海镜》卷六）表示的就是三次多项式
方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式；只不过此时不再出现"元"字，因为最下面一个数总是常数项，不会产生歧义。
可以说，李冶在数学专著《测圆海镜》中通过勾股容圆问题全面地论述了设立未知数和列方程的步骤、技巧、运算法则，以及文字符号表示法等，使天元术发展到相当成熟的新阶段。
《益古演段》则是李冶为天元术初学者所写的一部简明易晓的入门书。他还著有《敬斋古今黈》、《敬斋文集》、《壁书丛削》、《泛说》等，前一种今有辑本12卷，后3种已失传。
朱世杰的代表作《四元玉鉴》记载了他所创造的高次方程组的建立与求解方法，以及他在高阶等差级数求和、高阶内插法等方面的重要成就。
除李冶、朱世杰外，元代色目人学者赡思《河防通议》中也有天元术在水利工程方面的应用。
03朱世杰的四元术
李冶之后，天元术经二元术、三元术，到了元代朱世杰的《四元玉鉴》，进一步发展为四元术。"其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上"。朱世杰分别称一元方程为"一气混元"、二元方程为"两仪化元"、三元方程为"三才运元"、四元方程为"四象会元"，汲取了天元术的思想方法，参照了线性方程组用算筹摆出的"矩阵"运算方法，创造出以"天"、"地"、"人"、"物"表示四个不同未知数的四元高次方程组的数值解法，成功解决了四元高次方程组的建立和求解问题，达到了宋元数学的最高成就。而从名称来看，朱世杰的《四元玉鉴》天、地、人与物并列的四象会元方法，也极有可能受到道教思想的影响。
朱世杰所著《算学启蒙》共3卷259问,内容包括常用数据、度量衡和田亩面积单位的换算、筹算四则运算法则、筹算简法、分数、比例、面积、体积、盈不足术、高阶等差级数求和、数字方程解法、线性方程组解法、天元术等，是一部较全面的数学启蒙书籍。其中所给出的正负数乘除法则和完整的九归除法口诀,为中国数学史上首次出现。该书流传到朝鲜、日本等国，在我国一度失传。1839年得到朝鲜翻刻本重新翻印流传,后人多有注释。
继天元术之后，数学家又很快把这种方法推广到多元高次方程组，最后又由朱世杰创立了四元术。自从《九章算术》提出了多元一次联立方程后，多少世纪没有显著的进步。
在列方程方面，蒋周的演段法为天元术做了准备工作，他已经具有寻找等值多项式的思想；洞渊马与信道是天元术的先驱，但他们推导方程仍受几何思维的束缚；李冶基本上摆脱了这种束缚，总结出一套固定的天元术程序，使天元术进入成熟阶段。
