一道初中求三角形周长的题
三角形ABC的边长AB=12， BC=24， 并且AC=18， 经过三角形ABC内心的直线与BC平行交于AB为M， 交于AC为N， 求三角形AMN的周长。
解法1：如图, 令内切圆的半径为r, 用面积法求r,
S=(12r 24r 18r)/2=27r
设BC的高为h, 则三角形ABC的面积为
S=24h/2=12h
因此：
27r=12h
即：
r/h=12/27=4/9,
如果三角形AMH的高为H， 那么
H/h=1-4/9=5/9,
由于MN平行于BC， 所以三角形AMN相似于三角形ABC，
因此其周长之比等于高的比，也是5/9
所以求得三角形AMN的周长为：
（12 24 18）x5/9=30
解法2：如图，O是内心，则BO是角ABC的角平分线
因此∠ABO=∠CBO， 又因为MN平行于BC，所以∠MOB =∠CBO
故：
∠ABO=∠MOB
即：MB=MO
同样： NC=NO
所以三角形AMN的周长：
这种解法证明了三角形AM的周长是与BC的长度无关的。
