图2
从上图看到，二维平面中任意一个点，都可以沿着X（1，0）和Y（0，1）轴进行分解，也可以按如下两个列向量进行分解：
但如果将X和Y轴换成X（1，0）和Y（2，0）轴：
我们看到，当b不等于0的时候，上图是无解的，也就是图2中点P(2,3)所形成的向量是无法沿着（1，0）和（2，0）进行分解的。事实上，（1，0）和（2，0）是同一个向量，都是X轴。这种情况下，图2中的向量OP就无法只沿着X轴分解了，因为无法得到它的竖直分量。
线性无关是指：k1x1 k2x2 ...... knxn=0这个方程组只有0解，也就是k1,k2,...,kn必须等于0的时候这个方程才会等于0，这个时候我们就称向量x1,x2,x3,......xn是线性无关的。
再参考图1，所谓的线性无关，其实就是图1中n个向量不存在方向相同的向量，如果存在，则这n个向量就是线性相关的。
比如，假设x1和x2是（1，0）和（2，0）两个向量，则由k1x1 k2x2=0得到方程组：
k1 2k2=0
0k1 0k2=0
上述方程组存在非零解，所以（1，0）和（2，0）两个向量是线性相关的。
假设由向量x1,x2,x3,......xn向量组成矩阵A，则对于方程组Ax=0来说，明显就是当A的行列式不等于0的时候只有0解，也就是说明x1,x2,x3,......xn这n个向量线性无关；如果A的行列式等于0，则线性相关。
对于方程组Ax=b来说，当A的行列式不等于0的时候方程组有唯一解，也就是前面所说的向量分解x=k1x1 k2x2 ...... knxn会得到一组确定的k1,k2,...,kn值，即可以得到向量x 的坐标值。而A的行列式不等于0表示的意思就是向量x1,x2,x3,......xn线性无关。
我们知道，一个行列式等于0，就意味着这个行列式存在相等或者成比例的两行或者两列，而两行或者两列成比例，恰恰说明这两个行向量或者列向量是方向相同的向量，也就是同一个向量。
简单说来：
线性无关就是图1中不存在两个方向相同的（基）向量；否则就是线性相关。
