前一篇文章,我们学习了有关矩阵的运算性质以及矩阵的表示,这节课我们继续来看一看矩阵的内容,矩阵的逆运算,矩阵分块,克莱姆法则(下节课讲解)等知识。
我们在小学,初高中都学过逆运算,比如加减乘除法有逆运算,这些逆运算都是有关数字的逆运算。那么我们思考一下,矩阵是否也有逆运算呢?
注意:特别提醒,我们这里讨论的矩阵,都以n阶方阵为例子。
第一:逆矩阵的学习
对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A,都有以下等式成立。
既:AnEn=EnAn=An
在这里,我们从乘法的角度出发,n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位和1在数中的地位有些类同。一个数a≠0的倒数a^-1可以用等式来表示,既a×a^-1=1来表达。
根据相同方法,我们可以来看看逆矩阵的定义:
定义:n阶方阵A称为可逆矩阵,如果存在n阶方阵B,那么有AB=BA=E(这里的E称为n阶单位矩阵)。
要注意的是,上述情况中,如果根据矩阵的乘法法则,那么只有方阵才能满足以上等式。
其次就是,对于任意的n阶方阵A,适合该等式的矩阵B是唯一存在的。如果存在可逆矩阵,那么满足以下条件。
根据上面的内容,我们来了解一下,需要在哪些条件中,方阵A才是可逆的呢?如果方阵A真的可逆,应该怎么求A的逆矩阵A^-1呢?
要想解决上面提出来的两个问题,我们要首先了解一下伴随矩阵的概念:
定义:所谓的伴随矩阵,就是行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵。