求导数的学习里,有一个公式好像不太好记,这就就是反函数的求导公式。这个公式是这样的:
假设一个函数是,则这个函数的反函数的导数是
其实,我们只要理解导数的意义,以及函数与其反函数之间的几何关系,这个公式就很显然了,我们来看一个图。
函数与其反函数的几何关系
一个函数和其反函数的几何关系,是这两个函数关于y=x这条直线对称。图中红色函数曲线和紫色函数曲线是互为反函数关系,其中,蓝色点和绿色点对称,如果蓝色点的坐标为,那么其对应的绿色点的坐标为。关于y=x的对称点,也就是把x坐标和y坐标互换一下。
而在一个函数在某点导数的意义,是函数在该点处切线的斜率。图中蓝色点和绿色点处的切线,显而易见,也是关于y=x对称的,也就是说,蓝色点与绿色点切线的斜率互为倒数。
如果这两点理解了,反函数的求导公式就很自然了,因为:
求导公式的左边正是反函数在绿色点处的切线斜率,而公式的右边则是函数在绿色点关于y=x的对称点——蓝色点处的切线斜率的倒数,所以左右是相等的。
当然,图中画的函数曲线只是一个特例,对于其他函数道理也是一样的。
这个公式还是很好记的吧:)