级数敛散性的判断方法主要包括以下几种：
1. 基本的判断方法：利用有限项的和的性质来判断级数的敛散性，例如利用正项级数的性质（有限项和为定值）和级数的部分和定义等。
2. 比较审敛法：比较两个级数的敛散性，可以将其中一个级数通项化简，然后利用比较审敛法来判断它们的敛散性。
3. 审敛法则：对于某些特殊的级数，可以利用审敛法则来判断它们的敛散性，例如级数的审敛法则、柯西审敛法则等。
4. 瑕积分法：对于某些不完整的级数，可以利用瑕积分法来判断它们的敛散性，例如利用瑕积分的收敛性来判断级数的敛散性。
5. 逼近法：对于一些特殊的级数，可以采用逼近法来判断它们的敛散性，例如利用逼近函数的单调性和极限性质来判断级数的敛散性。
在实际应用中，常常会结合以上方法来判断级数的敛散性，根据具体情况选择合适的方法。
另外，级数敛散性的判断也有一些常用的技巧，例如：
1. 利用极限的性质来判断级数的敛散性，例如利用级数极限的保序性、保号性等。
2. 利用级数的分解来判断级数的敛散性，例如将级数分解为若干个简单级数的和，利用它们的敛散性来判断级数的敛散性。
3. 利用级数的奇偶性来判断级数的敛散性，例如对于正项级数，如果它的绝对值的和为偶数，则级数收敛，如果为奇数，则级数发散。
总之，级数敛散性的判断是一个相对复杂的问题，需要结合具体情况选择合适的方法和技巧。
一、判定正项级数的敛散性；二、判定交错级数的敛散性；三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；四、求幂级数的和函数与数项级数的和；五、将函数展开为傅里叶级数。

一、判定正项级数的敛散性
1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。
2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，
3.用比值判别法或根值判别法进行判别，
4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.
二、判定交错级数的敛散性
1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.
2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.
3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散.
4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.
三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.
2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径.
四、求幂级数的和函数与数项级数的和
1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和.
2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.
五、将函数展开为傅里叶级数
将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。
