符号判断类问题大致分为以下几种基本情形:
①a、b、c单个字母的判断,a由开口判断,b由对称轴判断,c由图像与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时,考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母,且a和b系数是平方关系,给x取值,结合图像判断,
例如:二次函数y=ax² bx c(a≠0),
当x=1时,y=a b c,
当x= -1时,y=a-b c,
当x=2时,y=4a 2b c,
当x= -2时,y=4a-2b c;
含有a、b、c三个字母,a和b系数不是平方关系,想办法消掉一到两个字母再判断;
④含有b²和4ac,考虑顶点坐标,或考虑Δ.
⑤其他类型,可考虑给x取特殊值,联立方程进行判断;
也可结合函数最值,图像增减性进行判断。
典型例题分析:例1:如图,二次函数y=ax² bx c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与X轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:
①4a﹣2b c<0;②2a﹣b<0;③a c<1;④b² 8a>4ac;⑤a<-1
其中正确的有 .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答:
由图知:抛物线的开口向下,则a<0;抛物线的对称轴-b/2a>−1,且c>0.
①含有a、b、c三个字母,且a、b系数是平方关系,给x取-2即可
由图可得:当x=−2时,y<0,即4a−2b c<0,故①正确;
②含有a、b两个字母,考虑对称轴
已知-b/2a>−1,且a<0,所以2a−b<0,故②正确;
③只含有a、c,考虑联立消元
已知抛物线经过(−1,2),即a−b c=2 (1),
由图知:当x=1时,y<0,即a b c<0 (2),
联立(1)(2),得:a c<1;所以③正确;
④含有b²和4ac,考虑顶点坐标,或考虑Δ.
由于抛物线的对称轴大于−1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:(4ac−b²)/4a>2,
由于a<0,所以4ac−b²<8a,即b² 8a>4ac,故④正确;
⑤基本方法很难确定,考虑联立消元
已知抛物线经过(−1,2),即a−b c=2 (1),
由图知:当x=1时,y<0,即a b c<0 (2),
由①知:4a−2b c<0 (3);
联立(1)(2),得:a c<1;
联立(1)(3),得:2a−c<−4;
故3a<−3,即a<−1;所以⑤正确;
因此正确的结论是①②③④⑤。
例2:已知二次函数y=ax² bx c(a≠0)的图象如图所示,下列结论错误的是( )
A. abc>0 B. 3a>2b C. m(am b)⩽a−b(m为任意实数) D. 4a−2b c<0
解答:
(1)∵ 二次函数图像开口向下,∴ a<0
∵ 此函数图像的对称轴为x= −1,∴
=−1,∴ b=2a,∵ a<0,∴ b<0
∵ 此函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴ c>0
∵ a<0,b<0,c>0
∴ abc>0,即选项A正确;
(2)∵ b=2a,∴ 2b=4a,∵ a<0
∴ 3a>4a,故3a>2b成立,即选项B正确;
(3)对于这种形式,通常利用函数增减性或最值判断
对于C:对m(am b)≤a-b变形,得am² bm c≤a−b c
而在原函数中,当x= -1时,y=a-b c,观察图像可知,当x= -1时,y的值最大,
∴ 对于任意的m,都有m(am b)≤a-b,即C选项正确;
(4)对于D:x= -2时,y=4a-2b c,根据图像对称性,可知x= -2时,y>0,∴ 4a-2b c>0
即D选项错误.故选D.