数学小诸葛发现了生成勾股数的最简单的公式。
广东 陈一方
我在解直角三角形的过程中，发现了一个有趣的规律：如果两个连续的正整数之和是一个完全平方数，那么这个完全平方数的算术平方根与这两个连续的正整数组成一组勾股数。
如√9,4,5;√25,12,13;√49,24,25;√81,40,41......下面试着证明一下：
假设两个连续的整数为 x 和 x 1，且 x (x 1)是一个完全平方数，其算术平方根为 y ，则 (x 1)²-x²=2x 1，即
x² [√(2x 1)]²=(x 1)²
所以 √[x ( x 1)], x , x 1是一组勾股数．
推广之，假若两个正整数相差 n ，设较小的正整数为 x ,则较大正整数的为(x n)，如果（2xn n²）是一个完全平方数，那么
√(2xn n²), x , x n ，组成一组勾股数。
证明方法与上面类似：
(x n)²-x²=x² 2xn n²-x²=2xn n²
即x² (√2xn n2)²=(x n)²
你说勾股数有趣吗？
补充一个例子。
设x=3，n=2，因为
勾股数公式的几何解释
2xn n²=2×3×2 2²=16，是完全平方数，所以，3，4，5是一组勾股数。
上图所示的黄色正方形边长为3，蓝色曲尺形面积为2xn n²=16，即n=2，所以
黄色和蓝色合成的大正方形边长为3 2=5。
