反比例函数
一、反比例函数的概念
1.y=k/x（k≠0）可以写成
的形式,注意自变量x的指数为-1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；
2．y=k/x（k≠0）也可以写成 xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k,从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数y=k/x的自变量x≠0,故函数图像与 x 轴、y 轴无交点．
二、反比例函数的图像画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x≠0,函数值y≠0 ,所以它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴;
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线;
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确；
③连线时,必须根据自变量大小从左至右或从右至左用光滑的曲线连接,切忌画成折线；
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交;
三、反比例函数及其图像的性质
1．函数解析式：y=k/x(k≠0)
2．自变量的取值范围：x≠0
3．图像
①图像的形状：双曲线
|k|越大,图像的弯曲度越小,曲线越平直;
|k|越小,图像的弯曲度越大;
②图像的位置和性质：
当k＞0时,图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；
当k＜0时,图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大;
③对称性：
图像关于原点对称,即若 a,b 在双曲线的一支上,则-a,-b在双曲线的另一支;
图像关于直线y=±x对称,即若 a,b 在双曲线的一支上,则b，a和-b，-a在双曲线的另一支上；
④k的几何意义
如图 1,设点 Pa,b 是双曲线y=k/x上任意一点,作 PA⊥x 轴于 A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是|k|三角形PAO和三角形PBO的面积都是 1/2|k|;
如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上,作 QC⊥PA 的延长线于 C,则有三角形 PQC 的面积为 2|k|;
⑤说明：
(1)、双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论;
(2)、直线y=k1x与双曲线y=k2/x的关系：
当k1·k2＜0时,两图像没有交点；
当k1·k2＞0时,两图像必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称．
四、实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
(1)待定系数法；(2)根据实际意义列函数解析式;
2．注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上．
相似三角形
一、图形的相似
1．图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似;相似的符号：∽
性质：相似多边形的对应角相等,对应边的比相等;
2．判定：如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;
3．相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比;相似比为 1 时,相似的两个图形全等;
二、相似三角形
1．性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似;
2．判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;
②如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;
③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
①三边对应成比例
②两个三角形的两个角对应相等；
③两边对应成比例,夹角相等；
④相似三角形的一切对应线段对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等的比等于相似比;
3．相似三角形应用
视点：眼睛的位置；仰角：视线与水平线的夹角；盲区：看不到的区域;
4．相似三角形的周长与面积：
①相似三角形周长的比等于相似比;
②相似多边形周长的比等于相似比;
③相似三角形面积的比等于相似比的平方;
④相似多边形面积的比等于相似比的平方;
三、位似
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,
这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比;
2．性质：在平面直角体系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于 k 或-k;
锐角三角形
一、锐角三角函数
1.正弦：在Rt△ABC中,锐角∠A的对边a与斜边的比叫做∠A的正弦,
记作sinA,即sinA=∠A的对边/斜边=a/c；
2.余弦：在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边b与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作cosA,即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c；
3.正切：在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,
记作tanA,即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b;
①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大；∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大;
4.余切：定义：在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即cotA=∠A的邻边/∠A的对边=b/a；
5.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切;
通常我们称正弦、余弦互为余函数;同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数用等式表达：
若∠A 为锐角,则①sinA = cos90°−∠A等等;
6 .记住 特 殊 角 的 三 角 函 数 值表0°,30°,45°,60°,90°;
7、当角度在0°～90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大或减小而增大或减小；余弦值、余切值随着角度的增大或减小而减小或增大;0≤sinα≤1,0≤cosα≤1;
同角的三角函数间的关系：tanα·cotα=1,tanα=sinα/cosα,
cotα=cosα/sinα,sin2α cos2α=1
二、解直角三角形
1.解直角三角形: 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程;
2.在解直角三角形的过程中用到的关系:在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,
1、三边之间的关系：a2 b2=c2；勾股定理
2、两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
3、边与角之间的关系：
sinA =a/c；a= c sinA
cosA =b/c；b= c cosA
tanA=a/b;
sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos90°- A
sin2α cos2α=1
投影与视图
一、投影
1．投影：一般地,用光线照射物体,在某个平面地面、墙壁等上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面;
2．平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影;光源特别远
3．中心投影：由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影
4．正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影;物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关;
5． 当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同;当物体的某个面顶斜于投影面时,这个面的正投影变小;当物体的某个面垂直于投影面时,这个面的正投影成为一条直线;
二、三视图
1．三视图：是观测者从三个不同位置正面、水平面、侧面观察同一个空间几何体而画出的图形;
2．主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图;
3．俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图;
4．左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图;
5．三个视图的位置关系：
①主视图在上、俯视图在下、左视图在右；
②主视、俯视表示物体的长,主视、左视表示物体的高,左视、俯视表示物体的宽;
③主视、俯视 长对正 ,主视、左视 高平齐,左视、俯视宽相等 ;
6．画法：看得见的部分的轮廓线画成实线,因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线;
