36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数

首页 > 旅游 > 作者:YD1662023-12-04 01:00:45

先来看一个简单有趣的故事。

有100盏灯都是关着的。第1个人路过,把每盏灯的拉线开关都拉一下,使每盏灯都亮了;第2个人路过,把标号为2的倍数的灯都拉一下;第3个人路过,把标号是3的倍数的灯都拉一下;……第100个人路过,把标号为100的倍数的灯拉一下。

问:最后哪几盏灯是亮着的?

直接试不是不行,就是头容易晕。

我们可以反过来看。

标号为1的灯,其实只有第1个路人拉一下,所以它是亮的。

标号为2的灯,路人1和路人2都拉一下,别人再也拉不着了,所以它是关的。

标号为3的灯,路人1和路人3拉一下,所以它是关的。

标号为4的灯,路人1、2、4各拉一下,所以它是亮的。

标号为5的灯,路人1,5各拉一下,是关的。

标号为6的灯,路人1,2,3,6各拉一下,是关的

路灯7,路人1,7各拉一下,是关的

……

数学佬找到规律了!

对于路灯n,只要知道它的因子有多少个,如果是偶数个,就是关的,如果是奇数个,就是亮的。

那么自然数n的因子有多少个呢,偶数还是奇数?

有一个很明显的性质

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(1)

因此

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(2)

换句话说

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(3)

好,问题解决了。

标号为平方数的灯:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,它们的因数个数是奇数,所以最后是亮的,其余的灯最后是关的。

我们可以将

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(4)

显然,完全平方数有一组共轭因数相等,我们也可以称之为自共轭因数

如果n有自共轭因数,则这个数一定是完全平方数

例、求12的所有因数的积

我们当然可以穷举,不复杂。

12的因数有1,2,3,4,6,12,因此它的因数积就是1×2×3×4×6×12=1728

我们也可以这样算:将12的6个因数分成三组,1×12=2×6=3×4=12

因此,它的因数积就是12×12×12

那么,更大一些的数,比如123456的因数积是多少呢?

我们可以将123456分解得

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(5)

因此123456的因数个数为7×2×2=28个,

共轭因数有14对,每一对的积都是123456

因此123456的因数积就是

36的因数是奇数个吗,36是哪些数的因数(6)

哦,亲爱的,你知道为什么123456的因数个数是28吗?

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