不知道大家听没听过一首儿歌，叫做《蜗牛与黄鹂鸟》。你要知道蜗牛是“一步一步爬上去”的，无论我是以一年四季为单位还是以分秒为单位，它都是连续的向上爬的。为啥今天我要给大家提这么一首歌呢？原因就在于我要利用这个给大家聊聊函数的连续性。你想，我在说蜗牛连续向上爬的时候，提到一句话，就是我无论怎么放大研究它都是连续的。看图：
无论我把时间怎么拉长，蜗牛的路线都是连续的，（我画成了指数函数是随手一画的，无论什么函数都是这样）。
不要觉得我画的x和y的增量太大，记住导数有的时候要把它视作是一种放大图来理解。什么意思？就是你看上去很大，那是经过放大的，你可以认为它很小。接下来，我们尝试着给连续性下一个定义：就是有这么一个函数，我无论让它的横坐标怎么拉长，都是一条连续的线段，换句话说，就是x变化很小那么y也变化很小。大家知道，这么说还不够准确，那么究竟什么才是准确的呢？
你应该理解吧，这个就是我刚刚说的那些的数学表达，对吧！先保证有定义，之后在保证x变化很小的时候，y的变化也不会大。再看第二个：
不小心笔误了，应该为x→x0。
虽然是两个定义，说的却是一回事。都是在强调x与y在一段很小的区间里变化都不会太大。第一个不用说了，第二个就是在f(x0)附近求极限看看它是怎么变化的，结果这个函数就是无限的向f(x0)靠拢，Δx越小（x距离x0越近），那么y也越接近f(x0)，当x=x0的时候，y=y0了。（你自己要画个图来琢磨，一味地看是不管用的）。
最后一个其实就是用ε-Ν语言把这些话重新说一遍：
话说到这，我们应该对函数连续的定义有一个准确的理解了。那你想想，函数的连续性与可导有没有什么联系呢？
你想一下，连续只是在提函数连续不断，而导数呢？它说的是，我在这一点可以指引函数下一点怎么走。所以说，函数不连续，求导就无从谈起。那就是说可导的函数必定连续。
可是连续的函数不一定就可导哦！因为有的函数它在某点不可导（例如y=|x|），还有的函数它有切线但是斜率不存在（与x轴相垂直）。
今天就和大家说这么多了，谢谢大家！
