大家好,我是大黄老师,很高兴后和大家见面啦,今天我们来看函数以及函数的表示方法,函数这个章节,如大黄前面文章所写,这一章节是大家又爱又恨的一个章节,也是和解析几何,数列一样头疼的章节,其实大可不必,跟着思维导图学习函数,事半功倍,你不知道而已,还等啥,半个小板凳看大黄老师如何来讲函数及其表示吧!
函数这一章节,涵盖内容较多,学习理解的时候需要大家有序的来展开就是;譬如:从知识梳理展开,基本概念(函数定义,表示方法,三要素-定义域,值域,对应法则),函数性质,图像变换,函数应用等 ;今天我们就函数及其表示进行铺开:
知识梳理
函数及其表示,我们前面有讲函数定义,表示方法,三要素-定义域,值域,对应法则,有分段函数,这是基本点,学习的时候,我们还要重点关注定义域的求法,解析式的求法,最值与值域问题,就具体函数定义域,我们还需区分整式函数,分式函数,根式函数(无理函数)以及我们后续要学的指对数幂函数等基础函数,当然还有我们后面要学习的三角函数,这些都是我们的基础函数,它们构成了我们函数章节的基本框架。
学法指导
就函数定义域的求法中,除了上面所讲的基础函数之外,我们还要能够掌握一些抽象函数的定义域的求法,比如:复合函数,组合函数等这些没有具体表达式,但是又是具备函数的各种属性要素的函数。这就要求大家有一种模块化的思维,能分又能合,比如:函数y=f(g(x))这就是一个复合函数,在思考的时候,区分内函数u=g(x),外函数y=f(u),u的取值范围就是内函数的值域,也是外函数的定义域,这就是内外两层函数的联系纽带,还有我们落脚点是函数定义域,也就是自变量x的取值范围,结合我们这个复合函数y=f(g(x)),他实际上是x在对应法则g的作用下得到g(x),然后令u=g(x),u在对应法则f的作用下得到y,可以说x变化导致最后的y的变化,因此整个复合函数的自变量就是x,也就是内函数的自变量,所以我们可以得结论:内函数的定义域即为整个复合函数的定义域,有以上2点,我们就可以得到抽象函数中复合函数定义域这一类问题的解题方法。
当然了,抽象函数除了复合函数之外,还涉及组合函数之说,组合函数实际上是多个函数通过加减乘除四则运算法则链接在一起,整个组合函数的定义域就是构成该函数的各个函数的定义域的交集;
紧紧把握住以上这两个点,抽象函数的定义域问题既可以得以解决;解决了函数的定义域之后,函数的最值与值域问题,也是一个很重要的点,这里有基本函数值域的探求方法,也有一些常用的方法,大体有如下几个类别:一是,基本函数法,配方法,单调性法,判别式法,二是,整体换元法,分离常数法,数形结合法,三是,反函数法,导数法,不等式法,向量法,三角代换法;每一类办法对应的是一种题型,每种题型又可延伸多种方法,纵观前面所说,求函数的最值与值域值得大家认真学习和刷题,刷题中体会各种解题妙法。
除了上面的函数定义域和函数值域最值的是本章重中之重外,求函数的解析式也是一重,待定系数法,换元法,配凑法,特殊值法,方程组法等都是求函数解析式的常用之法。
总结升华
在以上的所学知识中,我们还有一些误区需要避免;
第一,含参数问题,针对这类问题,需要我们看题就能想到分类讨论思想,具体到各种题型,比如二次函数,分类讨论的点无非二项式系数,对称轴和区间的关系,判别式与0的大小关系问题;
第二,恒成立与有解问题,这一类问题实质是最大值最小值问题,需要大家能够正确区分;f(x)>a 恒成立,f(x)<a 恒成立,f(x)>a 有解,f(x)<a 有解,各有不同,大家可以结合数轴,数形结合得出最终的答案。
第三,函数是同一函数问题,必须定义域,解析式,值域完全一致才行。
综上,大家在学习函数及其表示的时候,把握以上重点即可。
以上寥寥,希望能够帮助到大家,期望大家在学习的时候能够把握重点,轻松掌握,快速晋级。