拥有更科学，更详尽的“弦表”，就可以在一定已知的条件下来解任意三角形。同时，托勒密创新的应用“托勒密定理”，应用该定理在解圆的内接四边形的时候，能够推出正弦和余弦的和差角公式。
三角学的发展越来越丰富，三角形中的奥秘被挖掘的越来越深入，纵观世界，由于信息不发达，全世界各地的对三角学都有所贡献，比如印度地区的《阿耶波多历数书》、《太阳的知识》；阿拉伯地区的巴塔尼与《星的科学》、比鲁尼和《测影通论》、艾布·瓦法与《天文学大全》等等。
文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，一个新时代的到来，各方面科学文化都取得突破性进展，三角学也不例外，发展成相当成熟的独立科目。但是三角函数公式却是杂乱无章的，这时候我们期待下一个天才的出现，16世纪中叶，他出生了，他的名字在中学数学课堂上翻来覆去被提到，是学霸心中的“神器”，是学渣心中的“魔鬼”，他就是韦达！
韦达--三角公式集大成者弗朗索瓦·韦达（1540-1603年），法国数学家，被誉为“代数学之父”。在我国，无论您的数学考多少分，您都必须要知道“韦达定理”，这简直是二次方程的神器。韦达就是这样在我国被家喻户晓的，韦达简直要成了“方程”的代言人。
相传，在比利时有位数学家叫罗芒乌斯，他在《数学思想》一书中有一个变态的方程求根问题，用现代的符号写出来就是：
比利时的大使曾向法国国王亨利四世“嘚瑟”，这么难的问题你们国家有能能解么？
于是亨利四世召来了韦达，让他解决这个问题，灭对方之威风！韦达看出该方程的解依赖sin45θ和sinθ之间的关系，心想：“在方程的背景音乐下，我还没输过”，凭着优秀的数学直觉，2分钟后解出了2个根，之后又解出了21个根。导致比利时大使装X失败！
韦达在代数上最伟大的成就应该是引进了系统的“符号”，也可以被称为“符号大师”，今天我们不谈韦达其他方面的贡献，只谈三角学。
韦达第一个在平面三角和球面三角中使用了 6 个三角函数，即我们今天的sin，cos，tan，cot，sec，csc。除了总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式。
他将这些公式总结在一个总表中，记录在《应用于三角形的数学定理》的第二部分。对于斜三角形，韦达效仿古人，将其化为直角三角形解决。对于球面三角形，韦达给出计算公式及记忆法则，比如著名的余弦定理：a²=b² c²-2bccosA。之后韦达又得到多倍角公式。韦达坚信：“没有解决不了的问题”，这句话永远激励着人们奋发向上，去探索数学未知的高峰。
至此，三角学从天文学中彻底分离出来，成为数学的一个分支，并独立发展。
欧拉--三角学分析化每每提到数学的大事件，永远都有欧拉的身影。这一次，不仅欧拉，近代数学的大牛们纷纷登场。17世纪，一个响亮的数学名词登上历史舞台，并在之后的二百年里，它在几乎所有的数学问题中均占中心位置，无出其右，它就是“函数”。
各种三角函数是起源于圆周运动，相互之间密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；牛顿和莱布尼茨给出了三角函数的级数展开式。约翰·伯努利在和差公式的基础上推导了解析三角的一般恒等式。
欧拉在《无穷小分析引论》中把三角学作为一门关于三角函数的科学进行了研究，对三角学作解析的叙述，从不多的几个基本公式推导出全部三角公式。他引入了弧度制，从而使角和实数一一对应，计算大为简化。如果令圆的半径等于1，那么半圆周的长就是π，所对圆心角的正弦值是0，即sinπ=0 ；1/4圆的周长是π/2，所对圆心角的正弦值等于1，即sinπ/2=1。
欧拉的《无穷小分析引论》是一部划时代的著作，即使只针对三角学来说也是封神之作。它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解放出来，三角学可以去描述现实世界中一切能用三角函数反映的运动或变化，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析学的分支。
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[1] 肖柏荣，周焕山.数学史与数学方法论[M].成都：成都科技大学出版社，1996.
[2] 胡作玄.近代数学史[M].济南：山东教育出版社，2006
[3]Eli Maor.Trigonometric Delights . Princeton University Press .1998.6
[4]吴文俊主编.世界著名科学家传记（数学家Ⅱ）.科学出版社.1992.193
[5] Victor J.Katz.李文林.邹建成.胥鸣伟等译.数学史通论（第 2 版）.高等教育出版社.2004.
