cos a b sina,cosa与sina之间的关系

首页 > 大全 > 作者:YD1662022-12-18 13:01:38

这是2022年高考数学全国卷I的一道关于三角形和三角函数的解答题。题目虽然并不是很难,但却很经典。因为它运用到了很多三角函数公式,几乎把公式都用了一个遍。

cos a b sina,cosa与sina之间的关系(1)

记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知cosA/(1 sinA)=sin(2B)/(1 cos(2B)).

(1)若C=2π/3,求B;

(2)求(a^2 b^2)/c^2的最小值.

分析:解决这类问题,首先肯定要从已知的等量关系中,转化出解题需要的式子来。观察已知等量关系,可以猜想转化过程要使用到倍角的正弦和余弦公式,它们分别是:

sin(2B)=2sinBcosB和cos(2B)=2(cosB)^2-1=1-2(sinB)^2. 代入已知等量关系后,化简,下一步该怎么做,就很难凭空想象出来了。只能是摸着石头过河了。

解:cosA/(1 sinA)=sin(2B)/(1 cos(2B))=2sinBcosB/(1 2(cosB)^2-1)=sinB/cosB.

cos a b sina,cosa与sina之间的关系(2)

【当然,接下来我们可以有很多不同的尝试,但基本上都是尝错的过程。如何能够提高一击必中的概率,就只能靠平时解题积累的经验,以及对题目的观察能力了。现在对上面得到的结果运用比例的基本性质,即“两内项的积等于两外项的积”,这是小学六年级数学下册所学的知识】

cosAcosB=sinB sinAsinB,【注意观察,移项后,式子中有一个“和的余弦公式”的结果】

从而sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A B)=-cosC,【互为补角的余弦互为相反,基础知识要扎实. 从而根据互为余角的正弦等于余弦,以及相反的角度正弦相反,就可以得到】

(1)B=C-π/2=π/6.

【第二小题一看就知道,要运用“正弦定理”a/sinA=b/sinB=c/sinC=k. 随便给它们设一个比值。那么a=ksinA, b=ksinB, c=ksinC,代入原式,就得到】

(2)(a^2 b^2)/c^2=((sinA)^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【然后想办法把它转化成一个关于某个角的正弦的函数】

=((sin(B C))^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【运用了互为补角正弦相等:sinA=sin(B C)】

=((sinBcosC sinCcosB))^2 (sinB)^2)/(sinC)^2【运用了和的正弦公式:sin(B C)=sinBcosC sinCcosB】

=(-(cosC)^2 (sinC)^2)^2 (cosC)^2)/(sinC)^2【运用了题*结论,sinB=-cosC,从而有cosB=sinC. 这个关系有点理解起来有点困难。即sin(C-π/2)=-cosC;而cos(C-π/2)=sinC. 这些公式每一个都要记得牢牢的,特别是最后这个,感觉有点奇怪,拿特殊角度检验一下就可以了】

=((sinC)^2-1 (sinC)^2)^2 1-(sinC)^2)/(sinC)^2=(4(sinC)^4-5(sinC)^2 2)/(sinC)^2【这回又运用了正弦和余弦的平方和等于1的公式,以及完全平方的展开式】

=4(sinC)^2-5 2/(sinC)^2>=4根号2-5. 【到这里才可以运用均值不等式,如果一开始就对a^2 b^2运用均值不等式求最小值,那就大错特错了,因为ab并不是一个定值,所以不能。而这里的2sinC和根号2/sinC的积恒等于2根号2,因此就可以运用均值不等式了】

cos a b sina,cosa与sina之间的关系(3)

所以当4(sinC)^2=2/(sinC)^2,即sinC=1/四次根号2时,(a^2 b^2)/c^2=4根号2-5最小。【一定要保证最小值可以取到。否则就要取定义域端点的值了】

怎么样?这道题算是同类题型的经典了吧!

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