傅里叶变换是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。简单来说傅里叶变换就是将一个复杂的波形拆开成一个个正弦波的组合，实际上傅里叶变换就像化学分析，可以确定波的基本成分。
傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。（图源：维基百科）
在钢琴中弹响一个音，都不只是一个音在响，而是许多音的结合，这种声音叫做复合音，复合音可以通过傅里叶分析拆分成单音。复合音的产生是由于发音体（以弦为例）不仅全段在振动，它的各部分（二分之一、三分之一、四分之一等）也分别同时在振动。由发音体全段振动而产生的音叫做基音，也就是最易听见的声音，由发声体各部分分段振动而产生的音叫做泛音，其实就是物理学上的谐波，基波频率2倍的音频称之为一次泛音，基波频率3倍的音频称之为二次泛音，以此类推。
谐振现象（图源：维基百科）
这些泛音是听觉不易听出来的，但是由于共振（在声学中亦称“共鸣”），可以在钢琴对应键的钢弦上观察到其振动，这也是一个直观的傅里叶分解。共振指的是物体在特定频率下会比其他频率以更大的振幅做振动，比如两个频率相同的音叉靠近，其中一个振动发声时，另一个也会发声。
它们与基音之间的音程以及频率比是固定的：音程是一个八度（频率比为2:1），然后是一个纯五度（频率比为3:2），等等。一件乐器的音色是由其泛音的比例决定的，泛音离不开基音，否则就是无本之木了，泛音和基音一同共鸣，才形成了丰满完整的音色。
十二平均律与五度相生律的故事
由于复合音中的泛音与基音相处融洽和谐，根据复合音的第二分音和第三分音的纯五度（频率比为3:2）关系，即由某一音开始向上推一纯五度，产生次一律，再由次一律向上推一纯五度，产生再次一律，如此继续相生产生了五度相生律。
在此做一个简单的计算来推导五度相生律：
取一基音，以C为例，将其频率f乘上3/2，即升高完全五度得下一音G。
将G升高完全五度得下一音D，D之频为(3f/2)*(3/2)=9f/4，高于原基准音之倍频，故将其除二，即降八度得9f/8。
将D升高完全五度得下一音A，A之频为(9f/8)*(3/2)=27f/16。
将A升高完全五度得下一音E，E之频为(27f/16)*(3/2)=81f/32，高于原基准音之倍频，故将其降八度得81f/64。
将E升高完全五度得下一音B，此时B之频为(81f/64)*(3/2)=243f/128。
假设有一音升高完全五度再降八度后为基准音C，可得此音之频为4f/3，此即为F。
依上法可得七声音阶，整理可得下表：
由于
