等式，其形式可以用于描述内积空间（包括实内积空间和复内积空间）中的向量之间的关系。
在一个内积空间中，两个向量的内积可以用以下形式表示：
[ \langle x, y \rangle ]
柯西不等式的具体形式如下：
对于任意两个向量 (x) 和 (y)，有：
[ | \langle x, y \rangle | \leq |x| \cdot |y| ]
其中，符号 (|\cdot|) 表示取绝对值，(\langle x, y \rangle) 表示 (x) 和 (y) 的内积，(|x|) 和 (|y|) 分别表示 (x) 和 (y) 的范数（或长度）。
这个不等式的直观意义是，两个向量的内积的绝对值的大小不会超过这两个向量的范数之积。当两个向量之间的夹角接近 90 度时，内积会接近零，从而使得柯西不等式成立。
柯西不等式在许多数学领域都有重要应用，包括线性代数、实分析、复分析、泛函分析等。它也是很多其他数学定理的基础。
