柯西不等式:若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数,n为大于1的整数,则a₁ a₂ … aₙ≥
n ⁿ√(a₁a₂…aₙ),其中当a₁=a₂=…=aₙ时
等号成立.
为证明柯西不等式,首先介绍下列两个引理:
引理1 若a、b为非负数,则a b≥
2√(ab),其中当a=b时等号成立.
引理2 若a₁、a₂、…、aₙ均为非负数,
且n=2ˣ,x为正整数,则
a₁ a₂ … aₙ≥n ⁿ√(a₁a₂…aₙ),其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
引理的说明:引理1显然成立(证明从略),逐施引理1即可得到引理2(证明从略).
其次证明柯西不等式:
(1)当n=2ˣ,x为正整数时,由引理2可直接得到所证结论成立.
(2)当n=2ˣ-y,即n y=2ˣ,1≤y≤2ˣ-3,
x、y为正整数,且x>1时,设
aₙ₊₁=aₙ₊₂=…=aₙ₊ᵧ=ⁿ√(a₁a₂…aₙ),
则由引理2可得
a₁ a₂ … aₙ aₙ₊₁ aₙ₊₂ … aₙ₊ᵧ≥
(n y)ⁿ⁺ʸ√[(a₁a₂…aₙ)ⁿ√(a₁a₂…aₙ)ⁿ√(a₁a₂…aₙ)…ⁿ√(a₁a₂…aₙ)]=
(n y)ⁿ⁺ʸ√[(a₁a₂…aₙ)⁽ⁿ⁺ʸ ⁾/ⁿ]=
(n y)ⁿ√(a₁a₂…aₙ),
其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
即a₁ a₂ … aₙ ⁿ√(a₁a₂…aₙ)
ⁿ√(a₁a₂…aₙ) … ⁿ√(a₁a₂…aₙ)≥
(n y)ⁿ√(a₁a₂…aₙ),
故a₁ a₂ … aₙ≥nⁿ√(a₁a₂…aₙ).
其中当a₁=a₂=…=aₙ时等号成立.
从而柯西不等式明所欲证!