「封面」｜一个网络可以用上面的图论来描述，来自Medium
大家好，我是科学羊，这里是数学篇第五季第20篇，今天我们回到数学，简单谈一个数学分支——图论。
图论，起初只是离散数学中的一个分支，如今已成为理解现代世界的一个重要工具，尤其是在计算机算法方面尤为重要！
来，我们带大家一起看一下。
01 图论的起源
原始柯尼斯堡七桥问题
图论的起源可以追溯到18世纪，当时著名的数学家莱昂哈德·欧拉为了解决了一个有趣的挑战——柯尼斯堡七桥问题。
什么是柯尼斯堡七桥问题？
柯尼斯堡七桥问题是一个经典的数学问题，它源自18世纪的普鲁士城市柯尼斯堡（今天的加里宁格勒）。这个问题与城市内的一条河流及其上面的七座桥梁有关。
当时，柯尼斯堡的居民对他们城市里桥梁的布局很感兴趣，发现了一个有趣的挑战：能否穿越每一座桥而不重复走任何一座桥？
比如，简述如下：城市被河流分成四个区域，分别标记为A、B、C和D。
七座桥连接这些区域：
一座桥连接A和B；
两座桥连接A和C；
一座桥连接A和D；
两座桥连接B和C；
一座桥连接C和D；
那么是否可以找到一条路径，使得你可以在不重复走桥的情况下，走过所有的桥？
你可以自己试试，或者带孩子一起看看有无解法。
不过，欧拉在1736年解决了这个问题。
他的方法是将城市和桥梁的布局简化为一个数学结构。
欧拉将每个区域表示为一个点（节点），将每座桥表示为一条线（边）连接这些点。这种图形结构帮助他分析了问题的本质。
欧拉证明了，在柯尼斯堡的桥梁布局下，不可能找到这样一条路径。
他的证明过程如下：
欧拉将每个区域表示为一个节点，每座桥表示为连接节点的边。
他分析了每个节点的度（即连接到该节点的边的数量）。
为了能够在不重复走桥的情况下走遍所有桥，每个节点的度必须是偶数（除了起点和终点，可以是奇数）。
但在柯尼斯堡七桥问题中，所有节点的度都是奇数，这使得问题无解。
看来，这完全是个数学问题！
02 图论的基本概念和计算机算法
图论中有两个基本对象：节点和边。
节点可以看作是一个点（如上图的数字），边则是连接这些点的线。
在图论中，边只能连接两个节点，节点和边的组合构成了一个图。
例如，上面的图定义如下。G = { N，E } ，其中 N = {1,2,3,4,5,6} ，E = {1,2} ，{1,5} ，{2,5} ，{2,3} ，{3,4} ，{4,5} ，{4,6}。第一个集合列出了每个节点的名称，第二个集合列出了一组对，每个对表示这些对中列出的节点之间的一条边。
就像在集合中一样，元素的顺序并不重要，一对节点中的顺序也不重要。
每个节点都有一个度，表示有多少条边连接到该节点。
欧拉通过分析节点的度，证明了在柯尼斯堡桥的布局下，无法实现不重复走桥。为了使路径只走每座桥一次，除了起点和终点外，所有节点必须具有偶数度。
如果我们将中国的城市比作节点，而将连接这些城市的铁路视作边，那么全国的铁路网络就是图论中的图。
图论在生活中是一个抽象的概念或者说是一种工具，计算机科学家们基于图论设计了许多算法，把许多实际问题抽象出来，用图论的方法来解决。
比如在图论中，有一个称为"中国邮差问题"的实际应用，即邮差如何在不重复或最少重复的情况下，把信送到每家每户。
我觉得和送外卖是一个道理！
这是一个实际问题，可以抽象为图论问题——每个家庭是图中的节点，道路是连接节点的边。
另外，关于图论的算法有很多，但最重要的是图的遍历算法，也就是如何从一个节点出发，通过边访问图中的所有节点。
以中国铁路网为例，我们如何从北京出发，访问全国所有的城市？
显然，我们需要尽量避免绕路和重复访问城市。
遍历算法主要有两种。
第一种称为深度优先搜索算法（在计算机领域简称为DFS，即Depth First Search）。
这种方法简单来说就是沿着一条路径一直走到底。
从北京出发，选择一个相连的城市，比如石家庄，作为下一个访问的城市，再从石家庄出发，找到另一个相连的城市，比如济南，然后继续这样走下去，经过南京、上海、杭州等，最后到达深圳。
当无法再前进时，再退回到上一个城市，如广州，看看是否还有未访问的相连城市，比如长沙，然后前往长沙，继续这个过程。
只要图是连通的，最终一定能访问所有城市。
为了避免重复访问或漏掉城市，你需要记录已经访问过的城市，或者在访问过的城市插上小红旗。
为了知道每次回退到哪个城市，你需要用堆栈来管理路径。
第二种方法是广度优先搜索算法（简称BFS，即Breadth First Search）。
从北京出发，先访问所有直接相连的城市，比如天津、济南、石家庄、沈阳和呼和浩特。
然后再从这些城市出发，访问它们相连的城市，依次类推，直到访问所有城市。
这种方法由于尽可能广泛地访问各个城市，被称为广度优先搜索算法。
它可以保证访问所有城市。为了防止走冤枉路，你也需要记录访问过的城市，或者插上小红旗。
为了知道下一轮遍历从哪个城市开始，你需要用队列来管理路径。
另外，铁路是双向通行的，但城市中的一些道路是单向通行的。
图论中，为了区分这两种情况并找到相应的算法，图分为无向图（双向联通）和有向图。在北京，有很多单行线对应的就是有向图。
有人可能会问，城市间的旅行与下载网页有什么关系？关系非常大。如果把一个网页看作图中的节点，超链接看作边，那么整个互联网就是一个有向图。
实际上，当你在一个网页上移动鼠标到那些蓝色带下划线的文字时，会显示出对应的隐藏网址。
当你点击时，浏览器通过这些隐含的网址跳转到相应的网页。自动下载网页的原理就是如此。
03 图论的现代应用
“小世界”网络是一种特殊的图形结构，由邓肯·瓦茨和史蒂文·斯特罗加茨在20世纪90年代首次描述。
这种网络的特点是大多数节点之间没有直接连接，但通过少数节点就可以相互连接。
小世界网络广泛存在于网站链接、食物网、神经元网络等多个领域。
这种网络的一个重要特征是它们有专门的“枢纽”，这些枢纽是重要的节点，有许多边连接到它们。
理解小世界网络的动态行为是当前研究的热门话题。
04 四色定理
另外，四色定理也是图论的另一个重要应用。
20世纪70年代，数学家证明任何地图只需四种颜色即可进行着色，使得相邻区域颜色不同。
这个非直观的结果首次由弗朗西斯·格思里在19世纪提出，并在20世纪70年代通过计算机辅助证明。
数学家使用不同类型的节点来表示每个形状的颜色，通过分析图形结构，证明了四色定理的正确性。
结语
图论是一个引人入胜的数学领域，它不仅帮助我们理解复杂系统，还提供了强有力的工具来解决实际问题。
随着数据和信息的快速增长，图论的重要性也日益增加。
作者:Masir123
来源-微信公众号:科学羊
出处:https://mp.weixin.qq.com/s/bmkrkdE2T2enHu2hOSYKBQ
