三角形三条中线相交于一点，该点叫做三角形的重心.三角形的重心具有两个重要的性质：
第一，重心分每条中线的比为2:1（到顶点距离等于到中点距离的2倍）；
第二，两条中线的交点就是三角形的重心，经过第三个顶点和重心的直线平分第三边.
2022年上海中考数学压轴题：
如图，在平行四边形ABCD中，P是线段BC的中点，连接BD交AP与点E，连接CE.
（1）如果AE=CE，
I:求证：平行四边形ABCD是菱形；
Ii:若AB=5，CE=3，求线段BD的长；
（2）分别以点A，B为圆心，AE，BE为半径作圆，两圆交于点E，F，点F恰好落在射线CE上，如果CE=√2AE，求AB/BC的值.
解析：（1）i：如图，连接AC交BD于O.欲证平行四边形ABCD是菱形，只需证明AC⊥BD即可.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AO=CO，
在△ACE中，
因为AE=CE，
所以EO⊥AC，
即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD是菱形；
ii:关注Rt△ABO和Rt△AEO.
因为AP，BO都是△ABC的中线，
所以点E是△ABC的重心，
所以BE=2EO，设EO=x，则BE=2x，
所以BO=3x，
则由勾股定理，得：
AB^2-BO^2=AO^2=AE^2-EO^2，
因为AB=5，AE=CE=3，
所以25-9x^2=9-x^2，
整理，得：8x^2=16，x^2=2，
所以x=√2，
所以BD=2BO=6x=6√2；
（2）如图，考虑到“同圆半径相等”，连接AF，BF.则
AF=AE，BF=BE，
所以AB垂直平分EF，
连接AC交BD于O，
则BO是△ABC的中线，
又AP也是△ABC的中线，
所以点E是△ABC的重心，
所以CE平分AB，
所以AB和EF互相垂直平分，
所以四边形AEBF是菱形，
设CF交AB于G，
则EG=CE/2=√2AE/2，
又∠AGE=90°，
所以AG=EG，
所以AG=FG=BG=EG，
所以四边形AEBF是正方形，
所以AB=√2AE，
在Rt△BEP中，
BE=AE，PE=AE/2，
所以BP=√(AE^2 PE^2)
=√(AE^2 AE^2/4)=√5AE/2，
所以BC=√5AE，
所以AB/BC=√2/√5=√10/5.
