三条角平分线交点性质及位置,三条角平分线的夹角的问题

原

题

再

现

1如图，△ABC中两个内角∠A，∠B的平分线的交点为P，求∠P与∠A的关系.

∠P＝90 1/2∠A（证明略）

2如图，△ABC中一个内角∠B和外角∠ACF的平分线的交点为P，求∠P与∠A的关系.

∠P＝1/2∠A

3如图，△ABC中两个外角∠FBC和∠BCE的平分线的交点为P，求∠P与∠A的关系.

∠P＝90－1/2∠A（证明略）

考

察

知

识

本题是三角形的内角和与外角和的性质，结合角平分线的性质的运用。

课

外

延

伸

已知：△ABC中，BA1平分∠ABC，且CA1平分△ABC的一个外角∠ACD，

①求证：∠P＝1/2∠A

②如BA2平分∠A1BC，且CA2平分△A1BC的一个外角∠A1CD，BA3平分∠A2BC，且CA1平分∠A2BC的一个外角∠A2CD，……，请猜测∠An与∠A的关系式，并证明你的猜想。

①证明：∠P＝1/2∠A

∵∠4是△PBC的一个外角

∴∠4＝∠2 ∠P

∵∠ACF是△ABC的一个外角

∴2∠4＝2∠2 ∠A

即∠4＝∠2 1/2∠A

∴∠P＝1/2∠A

直接利用以上结论可得：

②∠A1＝1/2∠A

∠A2＝1/2∠A1＝（1/2）^2∠A

∠A3＝1/2∠A2＝（1/2）^3∠A

………

∠An＝（1/2）^n∠A