一个题外话：
如果你是老师，你会专门给学生讲数学思想的重要性吗？
如果你是学生，你们老师有专门给你们讲过数学思想的重要性吗？
其实数学思想有点像武侠中的心法，具体题型的方法和技巧类似武功招式，两者相辅相成，招式每个人都可以练，这是普适性的，练得好不好与个人勤奋程度有关，而武功心法这种无形的东西跟个人修为有关，初学武时感觉心法并没有太大作用，若与人在招式上棋逢对手，就要比拼内功的时候了，内功心法领悟的透彻，飞花落叶皆可为武器，至于手中的是长剑还是枯木就无关紧要了。
数学思想亦是如此，它的功能简言之就是将复杂题目简化成常规题目，如何进行简化？可换元，可分类讨论，可整体代换，可用图像等工具辅助解题等等，在以往全国卷中前10个选择题几乎用不到数学思想辅助解题，更多的是常规套题题型的应用和变形，但往往在有区分度的题目上，数学思想有时候却能起到拨云见雾的作用。
以上算是卖弄，感想来自于一个学生问到的2021年十月份的中学生标准能力测试中的一个函数题目，该题目试卷类型不同位置有所差别，在新高考试卷中位于第8题，题目如下：
分析：题目不是一道原创题，是一道修改后的题目，解题逻辑很清晰，将零点个数转化为图像交点个数，其中一个函数为y=lnx-1，另外一个是y=|a√x-b|，后者函数是一个翻折函数，无论a的正负，图像均为先减后增的形态，如果直接求解，则要同时处理两个曲线函数，两个函数图像的交点个数并不容易判定。
第二个问题，题目为什么求b/a的取值范围，而且给定的函数区间为什么都带有平方的形式，如果令√x=t，后者就变成了直线类型的函数，给定带有平方的区间容易理解了，我查了一下原题，原题是2020年某地的模拟题，当时的题目直接给的就是直线类型的函数，而在这里替换成曲线函数后很多学生就不知道怎么处理了。
换元之后的函数为带有绝对值的直线翻折类函数，翻折点恰好为b/a,求b/a的范围其实就是确定翻折函数转折点的位置，其中a起到改变图像斜率的功能，当√e≤b/a<e时也并不能保证有两个零点，但题目中的a为存在性，改变a的大小则肯定能使得两函数有两个交点，这两种情况很好理解，关键是第三种情况。
如果b/a<√e时，图像的右侧依旧有可能与y=2lnx-1存在两个交点，如果y=2lnx-1对x没有限制，则翻折函数右侧肯定存在有两个交点的情况，此时以直线与曲线相切为临界点，切点的位置不确定，若切点的横坐标大于等于e时，两函数在(√e,e)上不存在交点，因此若满足要求，则要保证直线与曲线的切点在(√e,e)上。
当切点的横坐标恰好为e时，函数y=2lnx-1在x=e处的切线与x轴交点为e/2,因此只要当b/a位于(e/2,√e)上时，切点的横坐标才会落在(√e,e)上，此时改变a的大小就会出现两函数有两个交点的情况，如下图所示：
本题目的难点有两个，一是如何理解“存在a”使得满足要求；二是怎么才能想到用换元法将曲线转化为直线，题目挺有意思，文字叙述稍多，理解即可。
