与三角形中塞瓦线相关的线段倒数和5例
题目1：如下图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，DE为△ABC的中位线，点P为DE上的动点，BP的延长线交AC于点N，CP的延长线交AB于点M。证明：1/BM 1/CN为定值。
解题思路：因AB=AC，DE为△ABC的中位线，则
DE=1/2 BC，BD=CE=1/2AB=1/2AC。
易证△MPD∽△MCB，△NPE∽△NBC，则
DM/BM=DP/BC,
EN/CN=EP/BC,
上述2式相加得：
DM/BM EN/CN=（DP EP）/BC=DE/BC=1/2。
将等式左边变形为：
（BM-BD）/BM （CN-CE）/CN=1/2，
BD/BM CE/CN=3/2。将BD、CE用1/2AB代替，则
1/BM 1/CN=3/AB，因AB为定值，
故1/BM 1/CN为定值。
题目2：如下图，O为锐角△ABC的外心，若AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，设R为圆O的半径，求证1/AD 1/BE 1/CF = 2/R。
解题思路：详见。
题目3：如下图，在凸四边形ABCD中，边BA、CD的延长线相交于点P，两条对角线相交于点M，直线PM分别交AD、BC于点T、S。求证：2/PM=1/PT 1/PS。
解题思路：欲证倒数等量关系2/PM=1/PT 1/PS的三条线段位于线段PS上，P、T、M、S四点组成的线段有PS/MS=PT/MT的等量关系，先证明如下。
- PS/MS的代数表达式
根据燕尾定理公式,结合比例性质（等比性质）：
PS/MS=S△PBS/ S△MBS= S△PCS/ S△MCS
=( S△PBS S△PCS)/( S△MBS S△MCS)
= S△PBC/ S△BMC,即
PS/MS = S△PBC/ S△BMC。
同理BD/DM= S△PBC / S△PMC。
AP/AB= S△PMC / S△BMC（详见）。
（2）PT/MT的代数表达式
图1中可见，△PBM被线段AD所截，根据梅涅劳斯定理得：
AP/AB·BD/DM·MT /PT = 1,即
PT/MT= AP/AB·BD/DM
= S△PMC / S△BMC·S△PBC / S△PMC
= S△PBC / S△BMC,即
PT/MT = S△PBC / S△BMC,则
PS/MS=PT/MT成立。
再将上式进行变形为：
MS/PS=MT/PT,
(PS-MP) /PS=(MP-PT) /PT,
1- MP /PS=MP /PT -1,
MP /PS MP /PT=2,
2/MP=1/PT 1/PS成立。
题目4：如下图，在凸四边形ABCD中，边BA、CD的延长线相交于点P，两条对角线相交于点M，直线PM分别交AD、BC于点T、S，连接AS、DS分别交BD、AC于点E、F。
求证：1/MT - 1/MS = 1/EM - 1/DM = 1/FM - 1/AM。
解题思路：参考题目3中的结论，详见三角形三条塞瓦线交于一点所构成图形的相关线段比例关系（三）。
题目5：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，O为AD上一点，连接BO、CO并延长分别交AC于E、AB于F。证明：1/AF 1/AC=1/AE 1/AB。
解题思路：采用逆推法，用等量代换将上述等量关系依次变形运算如下。
1/AF 1/AC=1/AE 1/AB，
1/AF-1/AB=1/AE-1/AC（等式左侧线段AB含AF，等式右侧线段AC含AE），
（AB-AF）/AB·AF = (AC-AE)/AC·AE,
BF/AB·AF = CE/AC·AE,
BF/ AF = CE/ AE·AB/AC。
因AD为∠BAC的平分线，根据角平分线定理，则AB/AC=BD/CD,代入上式，则
BF/ AF = CE/ AE·BD/CD,
CE/ AE·AF/BF·BD/CD=1。
该等式即为塞瓦定理的表达式，如果再将其逆推，即可证明本题的结论成立，再次不再赘述。
