△椭圆曲线，图源维基百科
如开头提到的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，就是椭圆曲线领域的一个核心问题。
如果这一猜想成立，便能推断出符合上面1~100整数表现（即蓝色数字图）的结论：
在1000万个数字中，约有59%是两个有理数立方的总和。
不过，上面提出的这么多推断，绕来绕去也都只停留在猜想层面。
过去的几百年里，不少数学家试图揭开这个谜题，但要么无法得出结论，要么无法证明自己的推断是正确的。
它不像指数为2时，整数可以轻松被证明能否被拆解为两个有理数平方和（方法如上），毕竟指数为3时，没有确切的方法可以证明整数能否被拆解。
但尝试一个个“暴力拆解”整数又是不现实的。
因为在整个拆解过程中，涉及到的计算量巨大。
毕竟相较于拆成两个整数立方和，拆成两个分数立方和的难度要大得多……
举个栗子，整数2083虽然可以被拆解成两个分数的立方和，但光是这两个分数的分母，就长达40多个数字！
这还仅仅是一个整数的计算量，更别提挨个计算其他整数了。
现在，终于有3位数学家成功突破了这个问题的瓶颈，第一次给出了可以拆解成两个有理数立方和的整数比例：
9.5%~83%。
所以这一范围究竟是怎么得出的？
如何圈定这一范围？正如上面所说，椭圆曲线的结构极其复杂，这也使得它的直接求解变得非常困难。
于是这3位数学家开始思考：为何不试试将它与更容易处理的东西联系起来呢？
这一想就想到了矩阵。
这3位数学家中的1位，曾在今年4月证明过一个理论：
如果一个立方和方程存在有理数解（rational solutions），那么至少存在一个2×2×2×2的四维矩阵与它对应。
依据这个理论，如果能想办法计算出整数的2个分数立方和方程是否有对应的四维矩阵，就有办法求解出不可能被表示成有理数立方和的整数范围。
具体的求解过程，涉及两方面的理论：
一部分是几何数论，涉及计算不同几何图形在坐标系中的格点（lattice points）；另一部分则是解析数论，与哈代-李特尔伍德圆法（定理）相关。
最终他们求解出的结果是，大约有1/6的整数不存在对应的四维矩阵，换言之，这1/6的整数完全不可能被表示成2个有理数立方和的形式。
这样就确定了这个范围的最大上限——至多有5/6（约83%）的整数可能被表示成有理数立方和。
所以求解下限的话，将定理反过来不就行了？
并非如此。
毕竟这个理论的逆定理并没有被证明成立，即“如果一个整数能找到对应的四维矩阵，则它也能被表示为2个有理数的立方和”。
为此，三位数学家求助了椭圆曲线领域中对逆定理颇有研究的2位专家，分别是来自德克萨斯大学奥斯汀分校的Ashay Burungale和普林斯顿大学的Christopher Skinner。
他们一番捣鼓后，给出了一个特殊情况下逆定理成立的条件，在这种情况下至少存在2/21的整数，能表示为2个有理数的立方和。
而2/21（约9.5%）这个数值，也正是这一整数范围的下限。
但毕竟是特殊情况，所以3位数学家认为，9.5%~83%这个整数范围还能被进一步缩小。
接下来，他们打算进一步提升下限9.5%的数值，以接近逆定理完全成立下的5/12（约41%）。
领域内的学者认为，这一成果突破，表明数学家们距离贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的证明又前进了一大步。
作者之一为菲尔兹奖得主这次研究之前，3位数学家已经在数论领域有过几次合作了。
其中，Ari Shnidman和Manjul Bhargava早在2012年就有过数论领域的合作，而Manjul Bhargava又是Levent Alpöge在普林斯顿大学读博期间的导师。
