所以A(λ), B(λ)具有相同的不变因子, 是等价的。
这个结论用到的是矩阵的smith标准型分解定理。
整个证明的过程就是，判断两个λ-矩阵是否具有相同的不变因子，如果是，再根据矩阵的smith标准型分解定理得到结论。矩阵的smith标准型可以通过初等变换得到。
至此, 可以看出, 对复方阵A来说, λI − A在等价关系之下的等价类, 相当 于A在相似关系之下的等价类。称λI − A为方阵A的特征方阵, 把λI − A的 行列式因子, 不变因子和初等因子简单的称为A的行列式因子, 不变因子和初等因子。A的所有的不变因子的乘积等于A的特征多项式。
,
