平行对学生来说不陌生，平行现象在生活中也很常见。平行是对众多平行现象的本质分析，摆在我们面前的问题，平行到底是什么？《几何原本》中的第五公设说的也是平行：“同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线无限延长后在这一侧一定相交。”教材中的定义是这样：“同一平面内不相交的两条直线互相平行”。两种定义都不是很好理解，当然我指的是小学生。既然小学生很难理解，我们一定要这样定义吗？我想，我们是小学数学工作者，不是数学家，大可不必从数学家的角度去定义数学概念。我们的目的是让学生享受数学教育，而不是害怕数学，当然这与数学教育的“以知怡情”不矛盾。那我们该怎样定义平行呢？解决这个问题之前我们先研究一下怎样才不平行，按教材中的说法，相交就是不平行，且不说“相交”本身就是一个概念，以概念解释概念，难度还是很大的。这里我们看这句话“不相交就是平行”，这只是用一种现象概括另一种现象，并不涉及平行的本质。
下面的例子对大家理解平行会有帮助（图—1）：
（图—1）
红线和黑线不平行，为什么不平行，把红线向上平移，与黑线碰在一起形成一个角。什么是角？由一点向不同方向引出两条射线组成的图形叫做角，这也就是说两条直线角度不同就会碰在一起，即相交。平行线在儿童眼里无非两种情况，一是水平、二是竖直。这两种情况以外的平行线儿童都会以这两种情况为参照，这时在儿童那里便出现了表示方向的“角度”。在儿童眼里黑线和红线不平行是因为角度不同，这里的角度就是指黑线与红线相对于水平方向的角度，那也就是方向。这里老师可以点明“你们是不是想说它们的方向不同，所以才不平行”。在数学上，同一平面内不平行又叫相交，相交的情况有很多，其中有一种很特殊，那就是相交成直角着这种情况。在实际生活中这样的例子也有很多，如双杠的水平杠与立柱、椅子腿与横木等。你能把这样的两条线画下来吗？
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对于“平行与垂直”的教学老师们顾及最多的还是教材中的定义，教学时我们要以学生的视角认识平行与垂直。对于教材中关于平行的概念可以不予考虑，只是在学生得出平行定义后与教材概念进行对比即可。教材中的平行定义是这样的“同一平面内不相交的两条线叫平行线”。这只是分类后的重新命名，平行的真正内涵并没有讲出来。在课上，老师问学生“我们能找到平行，也会画平行线，你知道怎样才会平行吗？”学生说“角度相同就平行”。上面已经讲过儿童所谓的“角度”就是方向，这才是平行的本质，至少儿童是这么认为的。这就又涉及另一个话题，我们到底以什么视角来设计教学。我们不是从数学家的角度为数学定义，而是为儿童真正享受数学的角度设计教学。
什么是数学？美国数学家柯朗·罗宾写了一本书《什么是数学》，他认为“最好的数学就应该像文学作品——故事来源于眼前活生生的生活，致使你把精力与感情投入其中”。逻辑与直观是数学的重要特点，这就告诉我们，数学对象是什么并不重要，重要的是我们做了什么，这样数学就艰难的徘徊在现实与理论之间。对于小学阶段的数学，我们更应该靠近现实，但靠近现实不是目的，数学的目的是学会数学的思维，即抽象。小学数学靠动作抽象，这也就是皮亚杰说的“反观动作后的反身抽象”。对于平行的认识，教材让学生“任意画两条直线，会有哪几种情况？”从教材的第一句话就可以感觉到，教材是从“分类”的角度，逐步确定概念的外延，然后再对外延进行重命名。这样认识平行，表面是发挥学生的想象力，实则亦步亦趋跟着老师走。平行的本原是什么，换句话说平行的本质是什么，我一直认为平行与垂直是对直线方向性的一次再认识。第一次认识直线方向是在二年级学习“角”，角的定义是这样：从一点向不同方向引出两条射线，组成的图形叫做角。射线有方向，射线的同宗直线、线段同样有方向。第二次认识直线方向在四年级“平行与垂直”，对直线方向性进行一次梳理，并对其中两种特殊情况——平行与垂直，进行深入的认识。在现实中，学生对“平行”认识到什么程度呢？在课堂上，学生都能找到生活中的平行，尤其学生在用两根小棒摆平行时，几乎都在利用已有的平行关系。例如，有的学生将两根小棒分别摆在两条斑马线上，有的学生将两根小棒摆在长方形的两条长边上……这说明学生对平行有较深刻的认识，接下来再逐步深入认识平行。
在实际教学中，用小棒摆平行时有的同学只是“看着平行”，并不借助任何平行关系，或是平行工具去再现平行。这是不对的，看着平行在数学上行不通，数学需要证明。数学证明有两个渠道，一是直接证明结论的正确性，二是通过过程的正确性证明结论的正确性。第二种方法也可认为是演绎推理过程。如果每一步推理是正确的，结论必然正确。以用小棒摆平行为例，格尺的两边是平行的，小棒靠在格尺的两边来摆，小棒一定也是平行的。
在认识平行的过程中，教师要注意“变式”，由于我们在认识平行概念，所以“概念性变式”就显得很重要，有助于对概念的多角度理解。瑞典学者马顿为变式教学提供了理论基础，即“马顿理论”，以下被认为是马顿理论的核心：①学习就是鉴别（区分）；②有比较（差异）才能鉴别。在认识平行过程中这几个反例是一定要让学生见到的：
（图—2）
（图—2）①标准变式，强化方向相同才平行；②强化直线的无限延展性；③是非标准变式，看似平行，其实是一条直线，强化两条或两条以上直线才出现平行；④强化直线延展性，有时平行是“用脑看出来的”；⑤“你能找出几组平行线？”渗透直线性质的传递性。
