在高中数学中,圆的方程是选修课,也是高考常考的内容,圆的方程分为标准方程,一般方程.
(1)圆的标准方程:设圆心为C(a,b),半径为r,则圆的标准方程为(x-a)² (y-b)²=r,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为x² y²=r.
(2)圆的一般方程:当D² E²-4F>0时,方程x² y² Dx Ey F=0叫作圆的一般方程,它表示圆心为(-a/2,-E/2),半径为r=√(D² E²-F)/2的圆.
已知圆x² y² x-6y m=0和直线x 2y-3=0交于P,Q两点,且OP垂直OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
【分析】
(1)利用垂直列出坐标之间的关系,再化为关于m的方程求解;
(2)OP垂直OQ得到O点在以PQ为直径的圆上,再利用勾股定理求解;
(3)利用圆的性质列出m的方程求解.
【解析】
解法一:
将x=3-2y,代入方程x² y² x-6y m=0.
得5y²-20y 12 m=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2满足条件:y1 y2=4,y1y2=(12 m)/5.
∵OP⊥OQ,∴x1x2 y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2,
∴x1x2=9-6(y1 y2) 4y1y2.
∴m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-1/2,3),半径r=5/2.
解法二:
如图所示,设弦PQ中点为M,
∵O1M⊥PQ,K(O1M)=2.
∴O1M的方程为y-3=2x 1,即y=2x 4.
由方程组y=2x 4,x 2y-3=0,解得M的坐标为(-1,2).
则以PQ为直径的圆可设为(x 1)² (y-2)²=r².
在Rt△O1MQ中,O1Q²=O1M² MQ².
∴(-1/2 1)² (3-2)² 5=[1 (-6)²-4m]/4.
∴m=3.∴半径为5/2,圆心为(-1/2,3).
解法三:
设过P,Q的圆系方程为
x² y² x-6y m λ(x 2y-3)=0.
由OP⊥OQ知,点O(0,0)在圆上.
∴m-3λ=0,即m=3λ.
∴圆的方程可化为
x² y² 6y 3λ λx 2λy-3λ=0.
即x² (1 λ)x y² 2(λ-3)y=0.
∴圆心M(-(1 λ)/2,2(3-λ)/2),
又圆在PQ上,
∴-(1 λ)/2 2(3-λ)-3=0,∴λ=1,∴m=3.
∴圆心为(-1/2,3),半径为5/2.
【评析】
(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值,即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.