数列求和的七种方法和公式,数列求和的五种方法及应对条件

首页 > 实用技巧 > 作者:YD1662023-05-25 02:41:50

数列求和的七种方法和公式,数列求和的五种方法及应对条件(1)

​等差数列是常见数列的一种,可以用AP表示,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。

(一)等差数列求和公式

1.公式法

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2.错位相减法

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3.求和公式

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4.分组法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

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5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n 1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

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​小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意:余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:

(1)证明当n取第一个值时命题成立;

(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k 1时命题也成立。

例:

求证:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… n(n 1)(n 2)(n 3) = [n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

证明:

当n=1时,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立,于是:

1×2x3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .…… k(k 1)(k 2)(k 3) = [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

则当n=k 1时有:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 …… (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= 1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 …… k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1时原等式仍然成立,归纳得证

7.并项求和法

(常采用先试探后求和的方法)

例:1-2 3-4 5-6 …… (2n-1)-2n

方法一:(并项)

求出奇数项和偶数项的和,再相减。

方法二:

(1-2) (3-4) (5-6) …… [(2n-1)-2n]

方法三:

构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。

an=n(-1)^(n 1)

(二)等差数列判定及其性质


等差数列的判定
(1)a(n 1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。(2)2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。(3)a(n)=kn b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。(4)S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。
特殊性质
在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的,若项数为奇数,还等于中间项的2倍,即,a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中例:数列:1,3,5,7,9,11中a(1) a(6)=12 ; a(2) a(5)=12 ; a(3) a(4)=12 ; 即,在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。数列:1,3,5,7,9中a(1) a(5)=10 ; a(2) a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ; 即,若项数为奇数,和等于中间项的2倍,另见,等差中项。

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