我们经常在街边看到一些大爷摆摊，玩摸珠子的游戏。
游戏规则如下：
一共有3种颜色的珠子，每种颜色各有8颗，这些珠子除了颜色不同以外，其余都相同。将总共24颗珠子放进一个不透明的袋中，你从袋中任意摸出12颗珠子，根据摸出同一种颜色珠子的数量来兑奖。
具体兑奖如下：
①840：奖500元
②750：奖50元
③831：奖40元
④741：奖30元
⑤822：奖20元
⑥633：奖20元
⑦732：奖10元
⑧660：奖10元
⑨651：奖10元
⑩642：奖10元
⑪444：奖10元
⑫552：奖5元
⑬543：赔30元
初看上去，这个游戏貌似对玩家很有利。12颗珠子数量的分类一共有13类，其中12类都是中奖，而且还有500元的大奖，只有“543”这1类是输钱，我们赢钱的几率会很大。然而事实的真相果真如此吗？
要想搞清楚这个游戏对玩家是否有利，我们需要严格计算每一种情况的概率和综合收益期望值。
总共有24颗珠子，从中任意摸出12颗，由于珠子是无序的，这是一个组合数。
总共情况数=C(24,12)=2704156
①840：奖500元
C(8,8)×C(8,4)=1×70=70
“840”的顺序一共有A(3,3)=6种
分别为：“840”、“804”、“480”、“408”、“084”、“048”
情况数为：70×6=420
概率为：420/2704156≈0.01553%
②750：奖50元
C(8,7)×C(8,5)×A(3,3)
=C(8,1)×C(8,3)×A(3,3)
=8×56×6=2688
情况数为：2688
概率为：2688/2704156≈0.0994%
③831：奖40元
C(8,8)×C(8,3)×C(8,1)×A(3,3)
=1×56×8×6=2688
情况数为：2688
概率为：2688/2704156≈0.0994%
④741：奖30元
C(8,7)×C(8,4)×C(8,1)×A(3,3)
=8×70×8×6=26880
情况数为：26880
概率为：26880/2704156≈0.994%
⑤822：奖20元
C(8,8)×C(8,2)×C(8,2)
=1×28×28=784
“822”的顺序一共有C(3,1)=3种
分别为：“822”、“282”、“228”
情况数为：784×3=2352
概率为：2352/2704156≈0.0870%
⑥633：奖20元
C(8,6)×C(8,3)×C(8,3)×C(3,1)
=28×56×56×3=263424
情况数为：263424
概率为：263424/2704156≈9.74%
⑦732：奖10元
C(8,7)×C(8,3)×C(8,2)×A(3,3)
=8×56×28×6=75264
情况数为：75264
概率为：75264/2704156≈2.783%
⑧660：奖10元
C(8,6)×C(8,6)×C(3,1)
=28×28×3=2352
情况数为：2352
概率为：2352/2704156≈0.0870%
⑨651：奖10元
C(8,6)×C(8,5)×C(8,1)×A(3,3)
=28×56×8×6=75264
情况数为：75264
概率为：75264/2704156≈2.783%
⑩642：奖10元
C(8,6)×C(8,4)×C(8,2)×A(3,3)
=28×70×28×6=329280
情况数为：329280
概率为：329280/2704156≈12.2%
⑪444：奖10元
C(8,4)×C(8,4)×C(8,4)
=70×70×70=343000
“444”的顺序只有1种
情况数为：343000×1=343000
概率为：343000/2704156≈0.09%
⑫552：奖5元
C(8,5)×C(8,5)×C(8,2)×C(3,1)
=56×56×28×3=263424
情况数为：263424
概率为：263424/2704156≈9.74%
⑬543：赔30元
C(8,5)×C(8,4)×C(8,3)×A(3,3)
=56×70×56×6=1317120
情况数为：1317120
概率为：1317120/2704156≈49%
我们来验证一下刚才的计算是否准确，将每一类的情况数相加：
420 2688 2688 26880 2352 263424 75264 2352 75264 329280 343000 263424 1317120
=2704156=C(24,12)
两者结果相吻合，充分说明我们之前的计算是完全正确的。
大家看出端倪了吗？摸到“543”的概率约为48.7%，几乎接近于1/2。也就是说，摸到“543”这1种情况的概率约等于其他12种情况的概率之和。
最后，我们再来算一算收益期望，看看我们到底能否赢钱？
综合收益期望值：E=
(420×500 2688×50 2688×40 26880×30 2352×20 263424×20 75264×10 2352×10 75264×10 329280×10 343000×10 263424×5-1317120×30)/2704156
=-23371040/2704156=-8.64(元)
E=-8.64元
看到结果了吗？平均玩一局你就会输掉8.64元！现在你还敢去挑战大爷吗？
