三个连续偶数的和是18,三个连续偶数的和是39

最近有时在网络视频教学中，看到关于任意四个连续整数相乘的方程讲解，总感觉意犹未尽，一时兴起，对四个连续整数相乘的数理及拓展，发表一下个人之浅见，不当之处，还请斧正。

先把其中一个方程，摘抄如下：

（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值？

暂时先不谈其解法，还是先从以下几个步骤着手来分析。

“为什么会有这样的题目出现，是空穴来风吗？”

“对于这样的四个连续整数相乘的方程，其数理根源到底是从哪里来的？”

反复通过查询资料，终于发现在陈景润的《初等数论1》第32页的第一章习题中有一个证明题，第4小题具体摘抄如下：

“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”

书本上摘抄如下图：

书上的证明习题

如果对方程“X^2-1=355*356*357*358”改变一下形式，变成“X^2=355*356*357*358 1”就与这个证明题中的描述完全符合了。

个人认为：这个证明题就是“四个连续整数相乘的方程”这类题型的数理根源。

（备注：因为手头资料有限，当然是不是只有这本书中有，我不得而知，具体是谁发现的，也未作考究。暂且把它当作数理根源吧！）

刚好其书上有证明的过程（陈景润的《初等数论1》第93-94页处）。

原文证明过程摘抄如下：

证明：我们以a，(a 1)，(a 2)，(a 3)代表四个连续整数，其中a是一个整数，则

a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)=[(a^2 3a 1)-1][(a^2 3a 1) 1]=（a^2 3a 1）^2-1

上式右端括弧内a^2 3a 1是一个整数，故（a^2 3a 1）^2是一个平方数。

书上证明过程具体如下图：

书上的证明步骤

当然证明的步骤与逻辑方法肯定是没有问题的。通过数的分解，成功地分离出了一个“-1”，得到了一个平方数：（a^2 3a 1）^2。

对于其中的每一个步骤自己是否都懂了呢?

对于表达式中“a(a 1)(a 2)(a 3)=(a^2 3a)(a^2 3a 2)”中少了一个乘法结合律的步骤: a(a 1)(a 2)(a 3)=[a(a 3)][(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)(a^2 3a 2)。

实际上就是：“首尾两数相乘的积”与“中间两数相乘的积”再相乘。

• 对于步骤有一个疑问：为什么一定要这样结合，其数理根源在哪里？
• 从拓展的角度对自己提出以下的几个问题：

1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数？

2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数？

3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续？如果有其乘积加几必定是一个平方数？

4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑，“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢？

带着上面的几个疑问，便开始下面的自我探索之旅。

• 对于步骤中的一个疑问：为什么一定要这样结合，其数理根源在哪里？

从下面三组最简单的“四个连续的整数”开始分析。

如下：

第一组: 1*2*3*4，

第二组: 2*3*4*5

第三组: 3*4*5*6

第一组：乘法的结合律有以下三种形式：

1. 1*2*3*4=（1*2）*（3*4）=2*12
2. 1*2*3*4=（1*3）*（2*4）=3*8
3. 1*2*3*4=（1*4）*（2*3）=4*6

第二组：乘法的结合律有以下三种形式：

1. 2*3*4*5=（2*3）*（4*5）=6*20
2. 2*3*4*5=（2*4）*（3*5）=8*15
3. 2*3*4*5=（2*5）*（3*4）=10*12

第三组：乘法的结合律有以下三种形式：

1. 3*4*5*6=（3*4）*（5*6）=12*30
2. 3*4*5*6=（3*5）*（4*6）=15*24
3. 3*4*5*6=（3*6）*（4*5）=18*20

仔细对比这几组数，发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是2.

具体如下：

4*6中，6-4=2，

10*12中，12-10=2，

18*20中，20-18=2，

由此猜想：四个连续整数的中间两数之积总比首尾两数之积大2。

由上例证明题中可知：

a(a 1)(a 2)(a 3) =[ a(a 3)]*[(a 1)(a 2)] =(a^2 3a)*(a^2 3a 2)

得出"中间两数之积"减"首尾两数之积"：(a^2 3a 2) -(a^2 3a)=2

由此可以证明猜想是正确的。

这有什么用呢？

很容易联想到平方差的公式：

(A B)(A-B)=A^2-B^2

当B=1时，其形式如下：

(A 1)(A-1)=A^2-1^2= A^2-1

其中(A 1)-(A-1)=2,是巧合吗？

平方差公式的拓展变化形式之一：

A(A 2)= [(A 1)-1]*[(A 1) 1]=(A 1)^2-1^2=(A 1)^2-1 ---（4）

其中后面的数比前面的数大2：(A 2)-A=2。

通过比较得出以下结论：四个连续整数相乘的中间两数的乘积与首尾两数的乘积之差是2，刚好以构成（4）中平方差形式。

因为：“中间两数的乘积”-“首尾两数的乘积”=2

设“首尾两数的乘积”=A,则 “中间两数的乘积”= A 2

所以：四个连续整数相乘=“首尾两数的乘积” *“中间两数的乘积”= A(A 2)=（“首尾两数的乘积” 1）^2-1=(A 1)2-1

总算找到了“为什么一定要这样结合”的数理之根源。

（备注：1*2*3*4 1=(1*4)*(2*3) 1=4*6 1=[(4 1)-1)]*[(4 1) 1] 1=(5-1)*(5 1) 1=5^2-1 1=5^2。因为这个数理等式含有推导，其中也有（4）这种平方差公式的拓展变化。所以我会通过上面最简单的实际数例来记它。）

知道“四个整数连乘”说了什么，对于开始的题目就不难解了：

（1）：X^2-1=355*356*357*358，求X的值

解：X^2-1=355*356*357*358

X^2=355*356*357*358 1

=(355*358)*(356*357) 1

=[(355*358 1)-1]* [(355*358 1) 1] 1

=(355*358 1)^2-1^2 1

=(355*358 1)^2

所以：X=±(355*358 1)=±127091

因此注重其推导,并理解后，X2就等于“首尾两个数的乘积并加1”的平方了，只不过增加了计算量。

当然除了会做这类题以外，还找到了出题的方向，能随意出题了，不是吗？

出题的方向，其形式如下：

X^2-1=“任意四个连续整数相乘”

或

X^2=“任意四个连续整数相乘” 1

我就不出题了，有兴趣的朋友自己出几个题目试试？

“如果会出题了，还会怕做题吗？”这是我一惯的想法。

数学类比参考点图

声明：以下内容只是个人的构思与想法，仅是个人的浅见。不作为解题的步骤，也与考试无关。其中的拓展思考仅作参考。由于其中部分的数理是靠自己猜想后，进行推理出来的。如有不当之处，还请斧正。

• 对拓展的角度中第1个小问题：

1、如果是任意四个连续的偶数的乘积加几必定是一个平方数？

先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析：

第一组：2*4*6*8，

第二组：4*6*8*10

第三组：6*8*10*12

第一组乘法的结合律有以下三种形式：

1. 2*4*6*8=（2*4）*（6*8）=8*48
2. 2*4*6*8=（2*6）*（4*8）=12*32
3. 2*4*6*8=（2*8）*（4*6）=16*24

第二组乘法的结合律有以下三种形式：

1. l4*6*8*10=（4*6）*（8*10）=24*80
2. 4*6*8*10=（4*8）*（6*10）=32*60
3. 4*6*8*10=（4*10）*（6*8）=40*48

第三组乘法的结合律有以下三种形式：

1. 6*8*10*12=（6*8）*（10*12）=48*120
2. 6*8*10*12=（6*10）*（8*12）=60*96
3. 6*8*10*12=（6*12）*（8*10）=72*80

再仔细对比这几组数，同样发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中，“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.

如下：

16*24中，24-16=8，

40*48中，48-40=8，

72*80中，80-72=8，

再对每组数中的第3种结合进行再次的分解：

1. 2*4*6*8=（2*8）*（4*6）=16*24= (20-4)*(20 4)=20^2-4^2
2. 4*6*8*10=（4*10）*（6*8）=40*48=(44-4)*(44 4)=44^2-4^2

3、6*8*10*12=（6*12）*（8*10）=72*80=(76-4)*(76 4)=76^2-4^2

这三组数都是多么有规律，都是“-4^2”

• 对拓展的角度中第2个小问题：

2、如果是任意四个连续的奇数的乘积加几必定是一个平方数？

先从以下三组最简单的“任意四个连续的偶数的乘积”开始分析：

第一组：1*3*5*7，

第二组：3*5*7*9

第三组：5*7*9*11

第一组，乘法的结合律有以下三种形式：

1. 1*3*5*7=（1*3）*（5*7）=3*35
2. 1*3*5*7=（1*5）*（3*7）=5*21
3. 1*3*5*7=（1*7）*（3*5）=7*15

第二组，乘法的结合律有以下三种形式：

1. 3*5*7*9=（3*5）*（7*9）=15*63
2. 3*5*7*9=（3*7）*（5*9）=21*45
3. 3*5*7*9=（3*9）*（5*7）=27*35

第三组，乘法的结合律有以下三种形式：

1. l5*7*9*11=（5*7）*（9*11）=35*99
2. 5*7*9*11=（5*9）*（7*11）=45*77
3. 5*7*9*11=（5*11）*（7*9）=55*63

再仔细对比这几组数，同样发现一个有规律的现象，每组中第3种结合方式中，“中间两数相乘的积”与“首尾两数相乘的积”之差都是8.

如下：

7*15中，15-7=8，

27*35中，35-27=8，

55*63中，63-55=8，

再对每组数中的第3种结合进行再次的分解：

1. 1*3*5*7=（1*7）*（3*5）=7*15-= (11-4)*(11 4)=11^2-4^2
2. 3*5*7*9=（3*9）*（5*7）=27*35=(31-4)*(31 4)=31^2-4^2
3. 5*7*9*11=（5*11）*（7*9）=55*63=(59-4)*(59 4)=59^2-4^2

这三组数同样多么有规律，都是“-4^2”

大胆的猜想如下：

1、任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。

2、任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。

• 1、证明：任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。

设：a是自然数，任意四个连续的偶数分别是2a,2a 2,2a 4,2a 6

(2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6)=2^4[a*(a 1)(a 2)(a 3)](因式中提取2后，此处又变成了任意四个连续整数连乘的形式)

=2^4[a*(a 3)(a 1)(a 2)]（首尾相乘的积与中间两数之积相乘）

=2^4[a*(a 3) 1]^2-1]

=2^4[a*(a 3) 1]^2-2^4

=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4

=[2^2(a^2 3a 1)]^2-16

由此可见：

2a*(2a 2)*(2a 4)*(2a 6) 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2-2^4 16=[2^2(a^2 3a 1)]^2

这个平方数是：[2^2(a^2 3a 1)]^2

所以“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。

• 2、证明：任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。

设：a是自然数，任意四个连续的奇数分别是：2a 1,2a 3,2a 5,2a 7.

(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)=(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7)

=(2a 1) *(2a 7)*(2a 3)*(2a 5)

=（4a^2 16a 7）(4a^2 16a 15)

=[（4a^2 16a 11）-4]*[(4a^2 16a 11) 4]

=（4a^2 16a 11）^2-4^2

由此可见：

(2a 1)*(2a 3)*(2a 5)*(2a 7) 16=（4a^2 16a 11）2-4^2 16=（4a^2 16a 11）^2

这个平方数是：（4a^2 16a 11）^2

所以“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数”是正确的。

• 对拓展的角度中第3和4个小问题一起来讨论：

3、对于任意四个数有没有其它方式的进行连续？如果有其乘积加几必定是一个平方数？

4、因此也对于题目中“连续”两字产生了疑惑，“数的连续”具体是以什么方式进行连续的呢？

首先对 “连续”两个字提出自己的看法：

我们经常会说四个连续的整数，实际上四个连续的整数之间的相差为1，即步长为1。

个人认为数的连续是以“步长”为方式进行连续的。

例如下面三组数的连续是步长为3的四个连续的整数相乘形成：

1*4*7*10

2*5*8*11

3*6*9*12

当然还有步长为：4、5、6….等等，四个连续的整数相乘的形式。

个人感想：在数学中，思考的终级目的是如何快速计算，快速计算的方法是寻找通项式。

如何来找不同步长的四个连续的整数相乘的通项式呢？又能找到吗？

先对第3个小问题转化为如下的描述：

以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加几必定是一个平方数。（步长为整数）

推理：

假设: a为任意整数，d为任意步长为整数，“任意“步长”作为连续的四个整数”：a,a d,a 2d,a 3d

a(a d)(a 2d)(a 3d)= a(a 3d)(a 1d)(a 2d)=(a^2 3da)(a^2 3da 2d^2)

= [(a^2 3da d^2)- d^2][(a^2 3da d^2) d^2]

= (a^2 3da d^2)^2- (d^2)^2

= (a^2 3da d^2)^2- d^4

由结果可知：因此加上d^4 ，(a^2 3da d^2)^2就刚好是一个平方数。

结论如下:

以任意“步长”作为连续的四个整数的乘积加“步长的四次方”必定是一个平方数。（步长为整数）

验证：

1、d=1时，

a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)2- (d^2)^2 d^4

=(a^2 3da d^2)^2

= (a^2 3a 1)^2

与上面“4.证明任意四个连续整数的乘积加1必定是一个平方数。”的结果是一样的，都是:(a^2 3a 1)^2

2、当d=2时，

a(a d)(a 2d)(a 3d) d^4= (a^2 3da d^2)^2- d^4 d^4=(a^2 3da d^2)2=(a^2 6a 4)^2

a) n为整数，当a=2N时四个数才是偶数。其代入得：

(a^2 6a 4)^2=((2n)^2 6*(2n) 4)^2=[2^2(n^2 3n 1)]^2

与我自己证明的“任意四个连续的偶数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是:[2^2(a2 3a 1)]^2与验证中[2^2(n^2 3n 1)]^2从数理上是等价的，(因为a,n都是任意整数）

b) n为整数，当a=2N 1时四个数才是奇数。其代入得：

(a^2 6a 4)^2=((2n 1)^2 6*(2n 1) 4)^2=[4n^2 16n 11)]^2

与我自己证明的“任意四个连续的奇数的乘积加16必定是一个平方数。”中的平方数是（4a^2 16a 11）^2与验证中[4n^2 16n 11)]^2从数理上是等价的。(因为a,n都是任意整数）

由此可见，从数理上是正确的。

“以任意“步长”作为连续的四个连续的数的乘积加“步长的四次方”必定是一个数的平方。”

（注：平方数是指可以写成某个整数的平方的数。这里把“一个平方数”改为“一个数的平方”，把“四个连续的整数”改为“四个连续的数”，数就不一定是整数了，是实数，步长也是实数。

验证举例：

1、利用计算器计算：

X^2=1.1*2.3*3.5*4.7 1.2^4=43.6921=6.61^2

X^2=6.61^2

X=±6.61

2、利用公式计算：

此处：a=1.1,d=1.2 （都是不整数了）将其代入下面方程中

X^2=(a^2 3da d^2)^2= (a^2 3a 1)^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2

X^2=(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)^2

X=±(1.1^2 3*1.1*1.2 1.2^2)= ±6.61

其结果是一样的。

由此可见，

X^2-d^4=a(a d)(a 2d)(a 3d)

对于复数是不是也成立呢？

暂时就不举例了，有兴趣的爱好者可以试试？

1. 首先刨根问底，追根溯源。如找到这种四个连续整数相乘的数理来源。

2. 其次找到其证明过程。

3. 然后查看证明过程中数理步骤的逻辑及方法，反复询问自己是否有不解之处？永远抱有99%的相信度，但保留1%的怀疑度。有时并非要怀疑其正确性，而是考查其数理变化是否穷尽？

4. 再次追寻先辈之脚步，先从最简单的具体的数开始来进行推理，再慢慢过渡到抽象的数（未知数），学习证明过程的归纳方法与手段。学会后，还要能自出这类题目。

5. 最后通过思考，利用最简的模型来进行类比。用自己的语言来总结其变化规律，从而达到永远记住。

当未知数在四个连续的数中如何解？

其拓展形式如下：

(X 1)(X 2)(X 3)(X 4)=3024，求X的值?

我又能否找到思考的方向吗？

我又能找到出题的方法吗？

我又能穷尽其变化吗？

我又能得出什么结论吗？

【叁考：3024=6*7*8*9，或3024=（-9）*（-8）*（-7）*(-6）】

一个问题接一个问题永远没有尽头，也许这就是数学迷人的地方吧！

“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。”--高斯（Guass）