一：观察物体
1.一般从正面、左面、上面观察物体。
2.给出一个方向看的图形，用小正方体摆，有多种摆法。
3.根据三个方向看到的图形摆出原图，可确定几何体形状。
4.搭几何体时，先从上面确定基本形状，然后从正面和侧面确定层数和每层的个数。
二：因数与倍数
1.因数与倍数
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如：12÷6=2，我们就说12是6和2的倍数，6和2是12的因数。
研究因数和倍数的时候，我们所说的数指非0自然数。
因数和倍数是成对出现的，不能单独存在。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。
因数找法：①列乘法算式，哪两个整数的积是这个数，这两个整数就是这个数的因数，从1开始找起。②列除法算式，用这个数除以整数，商是整数且没有余数，除数和商都是这个数的因数。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，没有最大的。
一个非0自然数既是它本身的最大因数，又是它本身的最小倍数。
2.2、3、5的倍数特征
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 2的倍数一定是偶数。
一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：168，因为1 6 8=15，15能够被3整除，所以168是3的倍数。
个位上是0或5的数都是5的倍数。
拓展：①同时是2和5的倍数的数个位上只能是0；②同时是2和3的倍数的数个位上是0，2，4，6，8，且各个数位上数字之和是3的倍数；③同时是3和5的倍数的数个位上是0或5，且各个数位上的数字之和是3的倍数；④同时是2、3和5的倍数的数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。⑤一个数末两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数。⑥一个数各位上的数和是3的倍数且是偶数的都是6的倍数。
理解记忆：
①在3的倍数中，最小的两位数是（ 12 ），最大的两位数是（ 99 ）；
最小的三位数是（ 102 ），最大的两位数是（ 999 ）。
②既是2的倍数、又是3 的倍数的最小三位数是（102），最大三位数是（996）。
③既是3的倍数、又是5的倍数的最小三位数是（ 105 ），最大三位数是（ 990 ）。
④既是2和5的倍数、又是3 的倍数的最小三位数是（120），最大三位数是（990）；最小两位数是（30），最大两位数是（90）。
3.奇数和偶数
整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
①奇数±偶数=奇数 奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数
②奇数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数
③奇数个奇数相加和是奇数,偶数个奇数相加和是偶数。
④不论多少个数相乘，只要有一个因数是偶数，积就是偶数。
我们一般可以用列举法证明上述结论，举例说明一般举出3个以上例子。
4.质数和合数
一个数，如果只有1和它本身两个因数。那么这样的数叫做质数（或素数）。如：2、3、5、7都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。如4、6、15、49都是合数。
1既不是质数，也不是合数。
100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
数的分类:
①按奇偶性分为 ：奇数和偶数；
②按因数的个数分为：1、质数和合数。
三：长方体和正方体
1.长方体和正方体的认识
长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的完全相同；长方体有12条棱，相对的棱的长度相等，长方体有8个顶点。
正方体有6个面，每个面都是完全相同的正方形，正方体有12条棱，每条棱的长度都相等，正方体有8个顶点。
正方体是特殊的长方体。
2.长方形和正方形的棱长和
长方体所有棱长之和＝（长＋宽＋高）×4
正方体所有棱长之和＝棱长×12
长度单位：毫米mm、厘米cm、分米dm、米m、千米km
长度单位进率：1km=1000m 1m=10dm=100cm=1000mm
1dm=10cm 1cm=10mm
3.正方体的11种展开图
①“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。
②“132型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。
③“222型”,两行只能有1个正方形相连。
④“33型”,两行只能有1个正方形相连。
4.长方体与正方体的表面积
长方体和正方体的表面积:长方体或正方体6个面的总面积。
上下面面积：长×宽
前后面面积：长×高
左右面面积：宽×高
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
用字母表示为S＝(ab＋ah＋bh) ×2
正方体表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示为S＝6a2
面积单位：平方厘米cm2、平方分米dm2、平方米m2 、公顷、
平方千米km2
面积单位进率：1km2=100公顷
1公顷=10000m2 1m2=100dm2=10000cm2 1dm2=100cm2
5.长方体与正方体体积
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
体积单位有：立方厘米cm3、立方分米dm3、立方米m3
体积单位的进率为：1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³
长方体的体积=长×宽×高 用字母表示为V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示为V=a3
长方体（或正方体）底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh
6.容积和容积单位
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。
1L=1dm³ 1L=1000mL=1000cm3
1mL=1cm³ 1m3=1000L
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。
补充：
单位名称
相邻两个进率
长度
米、分米、厘米
10
面积
平方米、平方分米、平方厘米
100
体积
立方米、立方分米、立方厘米
1000
7. 排水法求不规则物体体积：
①物体放入后的总体积－物体放入前水的体积﹦物体体积
②容器的底面积×水面上升的高度﹦物体体积
四:分数的意义和性质
1．分数的意义
一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看做一个整体。把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。例如，3(2)的分数单位是3(1)。
2.分数与除法
被除数÷除数＝ 除数(被除数) a÷b＝b(a) （b不等于0）
3.真分数和假分数
分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
像25(1),14(3)，……这样由整数和真分数合成的数叫做带分数。（带分数只是假分数的另一种书写形式）
假分数的分子是分母倍数的可以化成整数，分子不是分母倍数的可以化成带分数。
4.分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。这是分数约分、通分、分数之间比较大小、分数之间加减计算的前提。
5.约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
步骤是：
①：找，找出分子与分母的公因数或最大公因数
8的因数：1，2，4，8
1，2，4是8和12公有的因数，叫做它们的公因数。其中4是最大的公因数，叫做最大公因数。
12的因数：1，2，3，4，6，12
②：除，分子和分母同时除以公因数或最大公因数，
③：止，直到确定分子和分母互质为止。
不论是逐步约分还是一次约分都是依据分数的基本性质。
☆求两个数的最大公因数的方法:
(1)列举法；(2)筛选法：先找出两个数中较小数的因数，再从中圈出另一个数的因数，看所圈的数中哪一个最大；（3）短除法
☆两个数的公因数是它们最大公因数的因数，最大公因数是公因数的倍数。
☆当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。
☆当两个数互质时，它们的最大公因数是1。
公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的特殊情况：
(1)1和任意非0自然数都是互质数。(2)2和任意奇数都是互质数。
(3)任意两个相邻非0自然数都是互质数。
(4)任意两个相邻的奇数都是互质数。
(5)质数与任意一个不是它倍数的数都是互质数。
分子和分母只有公因数1，这样的分数叫做最简分数。
约分时，要约成最简分数。(所有题的答案都要是最简分数)
6.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
步骤：①找，找分母的最小公倍数
4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，…
12，24，36，…是4 和6公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，12是最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，…
②乘，根据分数的基本性质，将每个分数都化成以最小公倍数为分母的分数。
两个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。
当两个数互质时，它们的最小公倍数是这两数的积。
7.分数和小数的互化
小数化分数：小数表示的就是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000、……的分数，再化简。
分数化小数：用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
常用分数小数互化表
2(1)＝0.5 4(1)＝0.25 4(3)＝0.75
5(1)＝0.2 5(2)＝0.4 5(3)＝0.6 5(4)＝0.8
8(1)＝0.125 8(3)＝0.375 8(5)＝0.625 8(7)＝0.875 25(1)＝0.04
8.分数和分数、分数和小数比较大小
1．分数和分数之间比较大小
①同分母分数相比，分子大的分数大。
②同分子分数相比，分母小的分数反而大。
③分子、分母都不同时，应先通分，使分母相同，再比较大小。也可以把各个分数化成小数再比较。
2．分数和小数之间比较大小
将分数转化为小数（或将小数转化为分数），再比较大小。
9.分数的加法和减法
1．同分母分数加减法
同分母分数相加减，分母不变只把分子相加减，计算结果，能约分的要约成最简分数。
2．异分母分数加减法
异分母分数相加、减，因为分母不同（也就是分数单位不同），要先通分，转化为同分母分数，然后按照同分母分数相加减法则进行计算。
3．分数加减混合运算
无论是简算，还是混合计算，结果都要是最简分数。
※喝牛奶问题（99页）
1.如果全部喝完：喝了一杯牛奶，看兑了多少次水。
2.如果没有喝完：分别计算每次喝了多少水和奶，再分别相加。
五.图形的运动（三）
图形变换方式：平移、旋转和对称 。
旋转方向分为：顺时针旋转与逆时针旋转
旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度。
旋转的特征：图形旋转前后形状、大小都没有变化，只是位置变化了。
旋转的叙述方法：图形是绕哪个点什么方向旋转了多少度。
六．折线统计图
折线统计图的特点：既能反映出数量的多少，又能反映出数量的增减变化情况。
复式折线统计图的特点:复式折线统计图不但能表示出各组数据的多少和数据的增减变化情况，而且便于比较各组相关数据的差异和变化趋势。
※七．数学广角——找次品（111页）
找次品前提：只含一个次品，已知次品比正品重或轻。
最优方法：把物品分成3份，每份数量尽量平均。
物品数量
2～3
4～9
10～27
28～81
82～243
称重次数
1
2
3
4
5
※打电话（102页）到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2ⁿ人，所有接到通知的队员的总人数为(2ⁿ -1)人。
