托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。
托勒密定理的证明：
已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：AB·CD BC·AD=AC·BD.
证明：在∠BAD内作∠BAE=∠CAD，交BD于E。因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，从而AB·CD =AC·BE ①；
易证△ADE∽△ACB，所以BC·AD=AC·DE ②；
1 ②得AB·CD BC·AD=AC·BD。
例2.蝴蝶定理
已知：过圆O的弦PQ的中点M任作两条相交弦AB、CD，联结AC、BD分别与PQ交于E和F。
求证：ME＝MF.
根据维基百科，此结论1803年被提出，1944年被命名为蝴蝶定理，确实本图形形状酷似一只翩翩起舞的蝴蝶。此题图形简洁、结论优美，证明却殊为不易。所以此题一经披露，就引起了众多关注，也出现了多种证明，常见的有10多种。最早见于1815年《男士日记》,近年来，此定理又载沉载浮，出现了一些新的证明，分蘖出新的变种，并在竞赛及练习中时隐时现。本系列文章准备系统梳理此定理的经典证明，挖掘其本质，详细介绍各种变式，并结合最新题目展示其应用。第一篇文章准备先介绍本定理的五种典型证法。
本定理证明的思路主要是两类:一类是纯几何方法，另一类是计算。计算方法又大概分为两类：三角计算（面积法、Menelaus定理、交比等）、解析法。
纯几何方法一
思路分析1：看到圆及中点M想到垂径定理，两边元素相对分散，考虑到将C关于OM对称到C'，倒角发现MBC'F共圆，然后利用全等即可。
证明1：作弦CC'∥PQ，联结C'M、C'F。
则C、C'关于OM对称，故∠FMC'=∠MC'C=∠MCC'=∠DBC',故M、B、C'、F四点共圆，故∠F C'M=∠ABD=∠ECM,
又CM=C'M, ∠FMC'=∠EMC,则△CME≌△C'MF(ASA),故ME=MF。
纯几何方法二
思路分析2：显然OM⊥PQ，欲证ME=MF,即证△OME≌△OMF。显然△AMC∽△DMB，由对称性想到垂径定理，取AC、BD中点，从而得到共圆及等角，即得证。
