对于很广泛的一类素数p，没有非零整数解。他未能证明费马定理。然而库默尔把证明费马大定理向前推进了一大步，远远超出了他所有的前辈曾经做过的工作。
费马大定理是说，当整数p>2时，上述方程没有正整数解。这里的p不一定是素数。
库默尔关于费马大定理的最后一篇论文是《关于x^p y^p=z^p，对于无穷多个素数p的不可能性之费马定理的证明》。
库默尔有点像高斯，他对纯数学和应用数学同样喜爱。库默尔发展了高斯关于超几何级数的工作，极大地发展了高斯的研究，这些发展在今天的微分方程理论中十分有用。
此外，哈密顿关于射线组（在光学中）的精彩工作，鼓舞库默尔得到了他自己的一个最好的发现，即以他的名字命名的四次曲面的发现，当欧几里得空间是四维（而不是我们平常想象的三维）时，这种曲面在欧几里得空间的几何中起了重要作用，就像以直线代替点作为构成空间的不可约元素时发生的那样。在19世纪的几何学中，这个曲面（以及它到高维空间的推广）占据了中心位置，它可以利用四重周期函数表示。雅可比和埃尔米特为这些函数作了最重要的贡献。
- 库默尔的四次曲面
自1934年以来，阿瑟·爱丁顿发现，库默尔的曲面与量子力学中的狄拉克波动方程有一种亲缘关系（两者有同样的有限群，库默尔的曲面是四维空间中的波面）。库默尔因对射线组的研究而回到物理学以完成这个循环，他对大气折射理论作出了重要贡献。
库默尔一生的最后9年是在完全退隐中度过的。当他退休时就永远放弃了数学，除了偶尔去他少年时代生活的地方旅行。他在一次短时间患流感以后，于1893年5月14日去世，终年83岁。
戴德金库默尔在算术上的后继者是尤利乌斯·威廉·里夏德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）。戴德金是德国最伟大的数学家和最有创见的人之一。当戴德金在1916年去世时，他已经是远远超出一代人的数学大师了。正如埃德蒙·朗道说，
里夏德·戴德金不只是伟大的数学家，而且是数学史上过去和现在最伟大的数学家中的一个，是一个伟大时代的最后一位英雄，高斯的最后一个学生。从他的著作中，不仅我们，而且我们的老师，我们的老师的老师，都汲取了灵感。
戴德金出生于不伦瑞克，那也是高斯的诞生地。17岁时，他已经在物理学的所谓推理中发觉了许多可疑之处，便转向了逻辑争议较少的数学。1848年他进了卡罗莱纳学院（给年轻的高斯提供自学数学机会的同一所学院）。在这所学院中，戴德金掌握了解析几何、高等代数、微积分学和高等力学的原理。他19岁进入哥廷根大学，主要导师是莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩、高斯和物理学家威廉·韦伯。从这三个人手里，戴德金得到了对微积分学、高等算术原理、最小二乘法、高等测地学和实验物理的全面而基本的训练。
1852年，戴德金由于一篇关于欧拉积分的短论文，从高斯手里获得了他的博士学位（这时他21岁）。高斯对这篇学位论文的意见是很有意思的∶
由戴德金先生完成的这篇论文是关于积分学的研究的，它决不是平凡的东西。作者不仅显示出他对有关领域具有丰富的知识，而且也预示着他将来的成就的独立性。作为一篇获得考试许可的考查文章，我认为这篇论文是完全令人满意的。
1854年戴德金被任命为哥廷根大学不领薪金的讲师，他担任这个职位达4年之久。1855年高斯去世，狄利克雷从柏林迁往哥廷根。戴德金在哥廷根的后3年期间，听了狄利克雷的最重要的讲座。他还成了那时初露头角的黎曼的朋友。1857年，戴德金开了一门关于伽罗瓦方程理论的课，这也许是伽罗瓦理论第一次正式出现在大学课程中。
戴德金是最早重视在代数和算术中加入群概念的根人。在这段早期工作中，戴德金已经展示出了他后期思想的两个主要特征，即抽象性和普遍性。他不是在有限群的置换表示的基础上讨论群的，而是利用公设来定义群，并试图从它们的本质的提炼中，得到它们的性质。
戴德金26岁时被任命为苏黎士理工学院的常任教授，执教5 年，1862年回到不伦瑞克工学院任教授，他在那里工作了半个世纪。戴德金在一个相对来说是低下的位置上干了50年，而一些还不配给他系鞋带的人却占据了重要的和有影响的大学席位。戴德金直到85岁去世（1916年），终身未婚。
戴德金分割
戴德金的数学活动几乎完全与最广义的数的范畴密切相关，这里只能论述他的两项最伟大的成就。首先我们叙述他对无理数理论，由此对对分析基础的重要贡献，即“戴德金分割”。
简单地回顾一下无理数的性质。如果a，b是普通整数，分数a/b就称作有理数；如果不存在整数m，n，使得一个确定的数N可以表示成m/n，那么N就是无理数。如果一个无理数用十进制记数法表示出来，那么它就是无限不循环小数。问题来了，如何用十进制计数法表示出无理数，使之与真正的无理数相等？戴德金对于数、有理数或无理数之间相等的定义，与欧多克斯的定义是一致的。
欧多克斯，约公元前400年生于奈得斯，是希腊天文学家和数学家。
如果两个有理数相等，那么毫无疑问，它们的平方根显然也相等。这样，2×3和6是相等的，那么
但是
