运用平方差公式分解因式带括号,运用平方差公式因式分解

首页 > 车主 > 作者:YD1662024-01-07 07:38:20

对于多项式的因式分解,提取公因式法是基本方法之一,此外又一种基本方法是运用公式法.

这里所说 公式是指乘法公式中的平方差公式(a b)(a-b) =a^2-b^2和完全平方公式(a±b)^2= a^2±2ab b^2.运用这两个乘法公式为什么可以进行因式分解呢?因为把这两个公式反过来就是下面两个公式:

a^2-b^2=(a b)(a-b)……(1)

a^2±2ab b^2=(a±b)^2……(2)

公式(1)仍然叫做平方差公式,公式(2)还是叫做完全平方公式,但它们的作用已经彻底变了,原来是用于进行多项式乘法运算,现在是用来进行因式分解.

根据公式(1)、(2),只要多项式符合公式(1)或(2)左边的条件,我们就可以把它分解为右边的因式相乘.运用公式(1)或(2)进行因式分解的方法就叫做运用公式法.

从公式来看,能运用平方差公式(1)分解的多项式首先必须是两项式,其次是这两项都必须是某个式子的平方,最后还必须是差的形式,即前者平方减去后者平方.这三个条件可以简单记作“两项皆平方,符号恰相反.”

例如,x^2 y^2中,两项虽然都是平方,但它们的符号却都是带正号“ ”,不满足“符号恰相反”的条件,所以不能运用平方差公式分解的.同样地,-x^2-y^2也是不满足平方差公式条件的.

又如,x^2-y中,两项符号虽然相反,但前者平方,后者不是平方,不满足“两项皆平方”条件,所以不能运用平方差公式分解.

当两项式满足平方差条件时,根据公式(1)就可以把它分解为两个因式相乘,这两个因式分别是这两个平方底数的和与差.

例如,x^2-y^2是平方差,平方底数分别是xy,分解的结果是xy的和乘以xy的差,即(x y)(x-y).

在平方差公式(1)中的ab,它们所代表不仅仅是单独的字母,也可以是具体的数字,还可以是单项式、多项式等.

在运用平方差公式因式分解时常常需要先对ab进行简单的变形,化为地地道道的平方差后再分解,同时注意几点几点:

(1)当ab中有一个是数字时,这个数题目一般不写成平方的形式,此时我们要根据该数的大小把它写成平方的形式,然后再分解.

例如,a^2-4,把4写成4的平方2^2,则

原式=a^2-2^2

=(a 2)(a-2).

(2)当ab为单项式时,有时需要先对单项式进行整理为(…)^2这样的平方后再分解.

例如,9x^2-y^2,先把9x^2写成(3x)^2,则

原式=(3x)^2-y^2

=(3x y)(3x-y).

又如,a^2b^2-1,先把a^2b^2写成(ab)^2,同时把1写成1^2,则

原式= (ab)^2-1^2

=(ab 1)(ab-1).

(3)当ab指数为大于2的偶数时,先把它们写成幂的平方差后再分解.

例如,x^4-y^2,把x^4写成(x^2)^2,则

原式=(x^2)^2-y^2

=(x^2 y)(x^2-y).

(4)当ab是多项式时,先留括号再整理.

例如,(2x y)^2-(x-2y)^2,分解为两数和乘以两数差时,先把(2x y)与(x-2y)的括号留下,再去括号整理.即

原式=[(2x y) (x-2y)][ (2x y)-(x-2y)]

=(3x-y)(x-3y).

(5)当“差”的负号“-”在第一项前面时,先把前后两项的位置交换一下.

例如,-m^2 n^2,先把前后项(包括符号)的位置交换,化为n^2-m^2,再分解.即

原式= n^2-m^2

=(n m)(n-m).

在运用提取公因式法进行因式分解时,我们遇到过公因式提取后,新因式经过整理又出现了新的公因式,此时需要再次提取才算分解完成.在运用平方差公式分解时也会遇到过这种情况,此时我们必须再次运用平方差公式继续分解,直到每个因式都不能再分解为止.

例如,a^4-1,第一次运用平方差公式分解为(a^2 1)(a^2-1)后,第一个因式(a^2 1)是不能再分解的,但第二个因式(a^2-1)显然又可以再用平方差公式分解为(a 1)(a-1).分解过程如下:

原式=(a^2 1)(a^2-1)

=(a^2 1)(a 1)(a-1).

运用公式法因式分解是在多项式用提取公因式不能时才考虑的方法,因此,当多项式有公因式时一定要先提取公因式,然后再考虑能否用公式继续分解?

例如,分解因式:4a^3-9a

多项式虽然是两项差的形式,却不是平方差,怎么分解呢?先观察一下这两项有公因式吗?有!公因式是a,因此,先提取公因式a,化为a(4a^2-9),再考虑新因式(4a^2-9)能否继续分解?

解:原式=a(4a^2-9)

=a[(2a)^2-3^2]

= a(2a 3)(2a-3).

再如,因式分解:(a-b)a^2 (b-a)b^2.

注意a-bb-a是互为相反数,它们可以相互转化成公因式,先提取后再看看能否继续分解?

解:原式=(a-b)a^2-(a-b)b^2

=(a-b)(a^2-b^2)

=(a-b)(a b)(a-b)

=(a-b)^2(a b).

运用平方差公式分解后,有时还会出现有公因式,此时仍然需要把公因式提取出来.

例如,分解因式:(a-3b)^2-(3a b)^2.

解:原式=[(a-3b) (3a b)][(a-3b)-(3a b)]

=(4a-2b)(-2a-4b)

=2(2a-b)·(-2)(a 2b)

=-4(2a-b)(a 2b).

有些多项式我们所看到的的既没有公因式,也不能运用公式法,怎么分解呢?

例如,分解因式:(a b)(a-2b) b(a-7b).

显然,该多项式没有公因式可提取,也不能运用平方差公式,我们唯一能做的是进行计算、化简,因此,就先把它化简后再确定然后分解.

解:原式=a^2-2ab ab-2b^2 ab-7b^2

=a^2-9b^2

= a^2-(3b)^2

=(a 3b)(a-3b).

最后再看几个例子:

例1 分解因式:25(a b)^2-9(a-b)^2.

解:原式=[5(a b)]^2-[3(a-b)]^2

=[5(a b) 3(a-b)][5(a b)-3(a-b)]

=(8a 2b)(2a 8b)

=2(4a b)·2(a 4b)

=4(4a b)(a 4b).

例2 因式分解:27a^3x^2-75ax^4.

解:原式=3ax^2(9a^2-25x^2)

=3ax^2[(3a)^2-(5x)^2]

=3ax^2(3a 5x)(3a-5x).

例3 因式分解:x^5-16x

解:原式x(x^4-16)

=x(x^2 4)(x^2-4)

= x(x^2 4)(x 2)(x-2).

练习:把下列多项式因式分解:

(1)8x^2-18.

(2)4m3-9mn^2.

(3)64x^2-36.

(4)(x-1)y^2 (1-x).

(5)a^4-625.

(6)2a^2-1/2.

(未完待续)

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