特点分析：
利用等边三角形的性质，可以灵活地解决一些共顶点等边三角形问题. 解决这类问题常用的方法是：利用等量减等量所得的差相等，得到共顶点处的一组角相等，再通过“SAS”证明两个三角形全等解决问题.
问题原型：
如图1，△ABD和△AEC都是等边三角形. 求证：DC = BE.
分析： 利用等边三角形的每一个内角都为60°，得公共顶点A处的∠DAC = ∠BAE，再利用等边三角形的各边都相等，根据“SAS”证明△DAC ≌ △BAE即可.
证明： 在等边三角形ABD中，AD = AB，∠DAB = 60°，
在等边三角形AEC中，AC = AE，∠EAC = 60°，
所以∠DAB = ∠EAC.
因为∠DAC = ∠DAB ∠BAC，∠BAE = ∠EAC ∠BAC，
所以∠DAC = ∠BAE.
在△DAC和△BAE中，AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，
所以△DAC ≌ △BAE（SAS）. 所以DC = BE.
模型应用：
如图2，△ABC和△BDE均为等边三角形，点E在线段AD上. 求证：BD CD = AD.
分析： 等边三角形ABC和等边三角形BDE的公共顶点为点B，易得∠ABE = ∠CBD，先根据“SAS”证得△ABE ≌ △CBD，可得AE = CD，再利用AD = AE DE，通过等量代换即可.
证明： 因为△ABC和△BDE均为等边三角形，
所以∠ABC = ∠DBE = 60°，AB = BC，BE = BD = DE.
所以∠ABC - ∠CBE = ∠DBE - ∠CBE，即∠ABE = ∠CBD.
在△ABE和△CBD中，AB=CB，∠ABE=∠DBC，BE=BD，
所以△ABE ≌ △CBD（SAS）. 所以AE = CD.
因为AD = AE DE，BD = DE，
所以AD = CD BD.
应用练习：
如图3，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE = BD. 求证：△ADE为等边三角形.
（提示：先通过“SAS”证得具有公共顶点的△ABD ≌ △ACE，得到AD = AE，∠BAD = ∠CAE，再证∠DAE = 60°即可.）
解：因为△ABC为等边三角形，所以∠B = ∠ACB = 60°.
所以∠ACD = 120°.
因为CE平分∠ACD，所以∠ACE = 60°.
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，
所以△ABD ≌ △ACE（SAS）.
所以AD = AE，∠BAD = ∠CAE.
因为∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60°，
所以∠DAE = ∠CAE - ∠CAD = 60°.
所以△ADE为等边三角形.
