几何是算术最古老的数学分支之一。它关注与图形的距离、形状、大小和相对位置相关的空间属性。
几何简史
几何的发展分两个阶段：19世纪前和19世纪以后。
在19世纪前，几何几乎完全专注于欧几里得几何，其中包括点、线、平面、距离、角度、曲面和曲线的概念作为基本概念。
在19世纪，几项发现极大地扩大了几何学的范围，似乎可以在不引入任何矛盾的情况下开发没有平行假设的几何（非欧几里得几何）。作为广义相对论基础的几何是非欧几何的一个著名应用。
从那时起，几何的范围得到了极大的扩展，该领域被划分为许多依赖于基础方法的子领域——微分几何、代数几何、计算几何、代数拓扑、离散几何（也称为组合几何）等等。
几何最初是为了模拟物理世界而开发的，它几乎应用于所有科学领域，也应用于与图形相关的艺术、建筑和其他活动。几何学在显然不相关的数学领域也有应用。例如，代数几何方法是怀尔斯证明费马大定理的基础，这个问题是用初等算术表述的，几个世纪以来一直没有得到解决。
主要概念
以下是几何学中一些最重要的概念。
公理
欧几里得在他的《几何原理》中采用了抽象的几何方法，是有史以来最有影响力的书籍之一。欧几里得引入了某些公理或假设，表达了点、线和平面的主要或不言自明的性质。他开始通过数学推理严格推导出其他性质。欧几里得几何方法的特点是其严谨性，它已被称为公理几何或综合几何。19 世纪初，非欧几何的发现引起了人们对这门学科的兴趣，在 20 世纪，希尔伯特采用公理推理试图提供现代几何基础。
研究对象
点
点通常被认为是构建几何图形的基本对象。它们可以由它们必须具有的属性来定义，如在欧几里得的定义中“没有部分的东西”，或在综合几何中。在现代数学中，它们通常被定义为称为空间的集合的元素，它本身是公理定义的。
通过这些现代定义，每个几何形状都被定义为一组点；在合成几何中情况并非如此，其中一条线是另一个基本对象，不被视为它通过的点的集合。
然而，在现代几何学中，点不是原始对象，甚至没有点。
线
欧几里得将一条线描述为“无限长度”，它“与自身上的点相等”。在现代数学中，考虑到几何图形的多样性，线的概念与几何图形的描述方式密切相关。例如，在解析几何中，平面中的线通常被定义为坐标满足给定线性方程的点集，但在更抽象的设置中，例如入射几何，线可能是独立对象，与位于其上的点集不同。在微分几何中，测地线是对线概念的推广弯曲的空间。
平面
在欧几里得几何中，平面是无限延伸的平面二维表面。其他类型几何的定义是对其的概括。平面用于几何的许多领域。例如，可以将平面作为拓扑表面来研究，而无需参考距离或角度；它可以作为仿射空间进行研究，其中可以研究共线性和比率，但不能研究距离；可以使用复分析技术将其研究为复平面；等等。
角度
欧几里得将平面角定义为在一个平面内，两条相交的直线彼此之间的倾角，并且彼此之间不成直线。在现代术语中，角是由两条射线形成的图形，称为角的边，共享一个共同的端点，称为角的顶点。
在欧几里得几何中，角度用于研究多边形和三角形，以及它们本身的研究对象。对三角形内角或单位圆内角的研究构成了三角学的基础。
在微分几何和微积分中，可以使用导数计算平面曲线或空间曲线或曲面之间的角度。
曲线
曲线是一维对象，可以是直线（如直线）也可以不是直线；二维空间中的曲线称为平面曲线，三维空间中的曲线称为空间曲线。
在拓扑学中，曲线是由从实数区间到另一个空间的函数定义的。在微分几何中，使用相同的定义，但定义函数必须是可微的代数几何研究代数曲线，它被定义为一维的代数变体。
表面
表面是二维对象，例如球体或抛物面。在微分几何和拓扑中，表面由二维“补丁”（或邻域）描述，它们分别由微分同胚或同胚组装而成。在代数几何中，曲面由多项式方程描述。
流形
流形是曲线和曲面概念的概括。在拓扑学中，流形是一个拓扑空间，其中每个点都有一个与欧几里得空间同胚的邻域。在微分几何中，可微流形是一个空间，其中每个邻域都与欧几里得空间微分同胚。
流形广泛用于物理学，包括广义相对论和弦论。
长度、面积和体积
长度、面积和体积分别描述了对象在一维、二维和三个维度上的大小或范围。
在欧几里得几何和解析几何中，线段的长度通常可以通过勾股定理来计算。
面积和体积可以定义为与长度分开的基本量，或者可以根据平面或 3 维空间中的长度来描述和计算它们。数学家已经发现了许多明确的面积公式和各种几何对象的体积公式。在微积分中，面积和体积可以用积分来定义，例如黎曼积分或勒贝格积分。
度量和测度
长度或距离的概念可以被概括，从而引出度量的概念。例如，欧几里得度量测量欧几里得平面中点之间的距离，而双曲度量测量双曲平面中的距离。度量的其他重要示例包括狭义相对论的洛伦兹度量和广义相对论的半黎曼度量。
在不同的方向上，长度、面积和体积的概念被测度理论扩展，该理论研究为集合分配大小或测度的方法，其中测度遵循类似于经典面积和体积的规则。
一致性和相似性
一致性和相似性是描述两个形状何时具有相似特征的概念。在欧几里得几何中，相似性用于描述具有相同形状的对象，而同余性用于描述大小和形状相同的对象。希尔伯特在他为几何创建更严格的基础的工作中，将同余视为一个未定义的术语，其属性由公理定义。
一致性和相似性在变换几何中得到了推广，它研究了由不同种类的变换保留的几何对象的属性。
维度
传统几何允许维度 1（一条线）、2（平面）和 3（我们的周围世界被设想为3D 空间），而数学家和物理学家在近两个世纪以来一直使用更高维度。更高维度的数学用途的一个例子是物理系统的配置空间，其维度等于系统的自由度。
在一般拓扑学中，维数的概念已经从自然数扩展到无限维数（例如希尔伯特空间）和正实数（在分形几何中）。在代数几何中，代数簇的维数有许多明显不同的定义，在最常见的情况下它们都是等价的。
对称
几何中的对称性主题几乎与几何学本身一样古老。圆形、正多边形和柏拉图立体等对称形状对许多古代哲学家具有深远的意义，并且在欧几里得时代之前就被详细研究过。
经典欧几里得几何中的对称性由同余和刚体运动表示，而在射影几何中，类似的作用由准线、将直线变为直线的几何变换。离散对称和连续对称在几何中都发挥着重要作用，前者在拓扑和几何群论中，后者在李理论和黎曼几何中。
一种不同类型的对称性是射影几何中的对偶原理，以及其他领域。这个元现象大致可以描述如下：在任何定理中，点与平面交换，与交接，位于与包含，结果是一个同样正确的定理。在向量空间和它的对偶空间之间存在一种相似且密切相关的对偶形式。
