由于椭圆弧长为定值 , 故展开式 ( 2) 在其收敛半径内是收敛的 , 并且可以逐项积分。将偏心率 e = 1 - ( b / a) 2 = 0. 820 54 代入上式 , 并取上式的前十项进行积分 , 作为近似值 l ( t) 10 , 误差用ε( t) 表示 , 则有 l ( t) = l ( t) 10 ε( t) , 且有
再将 a = 4 200, b = 2 400代入上式 , 得 l ( 2π) 10 = 21 123. 276 8,与利用 Matlab编程算出来的精确值 21 121. 897 33相比 ,误差为 0. 065‰, 非常接近, 表明 ( 3) 式可以当作椭圆弧长计算公式的近似解析解。
4
.椭圆螺旋楼梯的施工放样
清楚了椭圆旋转楼梯的几何性质 ,并用数学语言准确描述之后 , 就可以进行施工放样。根据建筑图 , 楼梯中心线上踏步的起点 A1、中间休息平台A18和 A19点、以及踏步的终点 A33均已经确定 ,同时已知 A1 ～A18、A19 ～A33之间分别有 17个和 14 个等分的踏步 ,如图 2所示。
施工放样实际上变成了求解 A1 ～A18之间的 17个等分点、A19 ～A33之间 的 14个等分点所分别对应的参数 t。已知椭圆弧长反求 t的过程中 , 无论采用精确计算公式 ( 1) 还是近 似计算公式 ( 3) , 都采用 New ton迭代法 , 即给定适当的初始值 t代入公式进行计算 , 直至计算出的弧长 与等分弧长误差满足要求 [ 6 ] 。求出中心线各点对应的参数 t, 就可求出中心线上等分点 A i的坐标。
楼梯的踏步属于直纹曲面的 v线 , 平行于 xoy平面 , 所以内、外边线的等分点 B i 和 Ci 的 z坐标等同于中心线上等分点 Ai 的 z坐标。v线垂直于中心曲线 t 线 , 所以直线 B i Ai Ci 平行于中心曲线 Ai 点处的主法矢方向。中线曲线 , 即螺旋曲线 , 在水平面上的投影为椭圆 , 任一点 Ai 处的法角大小为 :
β = arctank 法 = arctan a tan t b=bcost arccos ρ( t) = arcsin a sin t ρ( t)
如图 3, 根据参数 t、法角 β和距离 v0 , 利用椭圆 参数方程 L ∶r( t) 和椭圆等距线方程 LE ∶r( t) 进行直角坐标放样;或者利用椭圆旋转角 θ的参数方程 , 进行极坐标放样。参数 t (亦称之为椭圆离心角 ) 和旋转角θ的关系如图 4所示 ,θ = arctan ( b tan t / a) , 以θ β = arctank 法 = arctan a tan t b 为参数的椭圆方程为 :
这样椭圆旋转楼梯的中心线、内外边上各等分点 Ai 、B i 、Ci 的坐标均已求出 , 即可进行施工放样。同时根据各点在水平面上的投影 , 可以制作楼梯踏步的面砖等。 Ai 、B i 、Ci ( i = 2 ～ 17) 计算流程见图 5, 其中的参数等分变量 tn = 4. 543 57, 弧度等分变量 ln = 271. 817 56。
手算和 M atlab编程计算结果十分接近 , 现摘录手算参数 t的计算结果见表 2。i = 20 ～ 32时计算方法类似。另一半对称即可。
