问题引入
平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。问这n条直线把平面划分成多少个区域？
分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效"转化"，向想起的问题"靠拢"，又将联想起的类似的方法"移植"到所遇到的问题上。因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。
解：首先我们来考虑点分直线的问题。设一直线上的n个点能将直线分成an个部分，那么容易得到an=n 1。
接着我们再来研究直线分平面问题。平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成bn个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k＋1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k＋1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k＋1)块。由此可得递推关系式为
所以，当k=1时，b₂-b₁=2，
当k=2时，b₃-b₂=3，
当k=3时，b₄-b₃=4，
…
当k=n-1时，bn-bn-1=n，
把以上n-1个式子相加得：
(b₂-b₁)＋(b₃-b₂) (b₄-b₃)＋…＋(bn-bn-1)
＝2＋3＋4＋…＋n，
则： bn-b₁=2＋3＋4＋…＋n，
即：bn=2＋2＋3＋4＋…＋n。
因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成
