由于一个偶然的发现，降秩迭代（7）再度推广牛顿法。从巴比伦法、辛普森版本牛顿法、高斯-牛顿法到朱天照公式，前述所有有限维空间中的牛顿法都是（7）的特例。引文[2]中证明，只要映射 f 满足光滑性，所求奇异解满足半正则性和初始点满足局部性三个基本条件，加上投影秩r取为雅可比矩阵在解曲面上的秩，则降秩牛顿法（7）二阶收敛到解曲面上最近的解点。不仅如此，降秩牛顿法（7）成为天然正则化机制。奇异解曲面或曲线之所以奇异，在于经不起折腾。在数据扰动下可以大幅跳跃甚至消失殆尽。然而降秩牛顿法（7）仍然在扰动状态下收敛到一个驻点，这个驻点是消失掉的半正则解点的精确近似而且误差上界跟扰动量成比例，于是半正则的奇异性完全被降秩牛顿迭代清除，完成问题的正则化。这个牛顿法的新发展即将在权威期刊《计算数学》上发表（见文献[2]）。
你如果读到这里会问，如果方程组的解奇异程度超过半正则怎么办呢？那么恭喜你。你已经具有数学研究的基本素质。学无止境。学问学问，会问才能有学问。发现问题是解决问题的开始。发现下一个版本求解超奇异方程牛顿法的没准就是你呢。
读到这里，你不觉得牛顿法神奇吗？
后记：作者以此文纪念我们的导师李天岩教授（1945年6月28日-2020年6月25日）逝世一周年。
参考文献
[1] T. Yamamoto, “Historical development in convergence analysis for Newton’s and Newton-like methods”, J. Comput. and Appl. Math., 124, 1-23, 2000
[2] Z. Zeng，“A Newton’s iteration converges quadratically to nonisolated solutions too，”to appear in Math. Comput.
