一项科学发现常常只能被幸运地发现一次，而牛顿法则一次次被重新推广和修正。
一项科学发现常常只能被幸运地发现一次。而牛顿法则一次次被重新推广和修正，每次新发现的结果是，我们原来知道的牛顿法不过是新版的特例而已。其发展和演变历史，正是数学学人不断探索新领域解决新问题过程的写照。牛顿法的奇妙还在于，从诞生以来的一次次发展、推广和创新都是实质性的，而不仅仅是修边角式的改善。
撰文 | 曾钟钢（美国东北伊利诺伊大学数学系讲座教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
在《牛顿迭代法传奇（上）：张冠李戴的命名 》中我们说到，科学计算和工程计算上最基本最重要的通用算法“牛顿法”的发明史，是一部诸多大数学家前仆后继的传奇史，从巴比伦-赫伦，到韦达，到牛顿，到拉夫森，到辛普森等等，许多数学家将看似简单的牛顿法不断赋予新的内涵。直至今天，这个传奇仍旧没有结束，本文将剖析牛顿法的基本思想和深层含义，并介绍牛顿法的最新进展。
牛顿法的思想
在谈论牛顿法扑朔迷离的历史后，我们再次写下本文上篇给出的由辛普森发明的单变量方程牛顿迭代法：
(1)
我们可以用现在成熟的微积分观点来探讨牛顿法的深层含义。
把一个最一般的非线性方程组写成算子方程 f(x) = 0 并假定变元 x 是个n 维向量，而 f(x) 的值是个 m 维向量。如果这个方程组是正方形，也就是方程个数 m 等于变量个数 n， 那么当今教科书中的牛顿法就是辛普森的版本：
(2)
