【解析】设A（m，-3/m），B（n，-3/n），
连接OB，因为AB=2BC，
所以△AOB的面积等于△BOC面积的2倍，
所以△AOC的面积等于△BOC面积的3倍，
因为△AOC与△BOC的底边OC相同，
所以△AOC的底边OC上高是△BOC的底边OC上的高的3倍，
所以点A的纵坐标是点B纵坐标的3倍，
所以-3/m=3·（-3/n），n=3m，
所以点B的坐标为（3m，-1/m），
设直线AB的解析式为y=kx b，
把A，B的坐标代入，
解之，得：k=1/m^2，b=-4/m，
所以y=1/m^2x-4/m，
令y=0，得：x=4m，
所以点C的坐标为（4m，0），
所以△AOC的面积=1/2·|4m|·|-3/m|=6.
二、数形结合思想
双曲线中的不等关系问题，一般需要先用代数的精确计算两者相等的情形，然后观察图象的位置关系，利用图象的直观性解决不等关系问题.
例4（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y=x |-2x 6| m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 6 | 5 | 4 | a | 2 | 1 | b | 7 | … |
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m=______，a=______，b=______；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；
（3）已知函数y=16/x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x |-2x 6| m>16/x的解集．
【解析】（1）选择表格中一组数据（0，4），代入y=x |-2x 6| m，得：
4=0 6 m，m=-2；
所以y=x |-2x 6|-2，
当x=1时，a=1 |-2 6|-2=3；
当x=4时，b=4 |-8 6|-2=4，
所以m=-2，a=3，b=4；
（2）x=3时，函数值y最小等于1；
或当x<时，y随x的增大而减小；
或当x>3时，y随x的增大而增大；
（3）不等式x |-2x 6| m>16/x的解集就是
函数y=x |-2x 6| m的图象（折线）在y=16/x的图象上方部分所有点的横坐标的集合（即自变量x的取值范围），
因为y=x |-2x 6| m的图象与y=16/x的图象交于点A（4，4），
所以根据图象易知：折线在双曲线上方部分图象有两段，一段在原点O的左侧，其自变量x的取值范围是x<0；另一段在交点A的右侧，其自变量取值范围是x>4，
所以不等式x |-2x 6| m>16/x的解集是
x<0或x>4.
例5（2021·四川广元）如图，点A（-2，2）在反比例函数y=k/x的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM=ON=5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP．当S△OAD<S△OPE时，x的取值范围是________．
【解析】根据点A的坐标易知：k=-4，S△OAD=2，
根据图形及题意可知：如果点P在双曲线上，则S△OPE=2，而S△OAD<S△OPE，即S△OPE>2，
根据图形的直观性可知：
当点P应位于双曲线BC段的下方时，S△OPE>2，
所以欲求x的取值范围，必须先求B、C的横坐标.
因为M（5，0），N（0，-5），
设线段MN的解析式为y=ax-5（0≤x≤5），
把M（5，0）代入，得：
0=5a-5，a=1，所以y=x-5，
又双曲线为y=-4/x，联立y=x-5，
消去y，整理，得：
x2-5x 4=0，
(x-1)(x-4)=0，x=1或4，
所以点B，C的横坐标为1，4，
所以x的取值范围是1<x<4.
例6（2021·四川自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y=-8x/(x^2 4)的图象，并探究其性质．列表如下：
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … | 8/5 | 24/13 | a | 8/5 | 0 | b | -2 | -24/13 | -8/5 | … |
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y=-8x/(x^2 4)的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当-2≤x≤2时，函数图象关于直线y=x对称；
②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；
③-1<x<1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是_________；（请写出所有正确命题的序号）
（3）结合图象，请直接写出不等式8x/(x^2 4)>x的解集是________.
【解析】（1）a=2，b=-8/5（图象如图所示）；
（2）当-2≤x≤2时，判断函数y=-8x/(x^2 4)的图象是否关于直线y=x对称？只需在图象上任取一点，然后判断该点关于直线y=x对称点是否也在该函数图象上即可.比如取点（-1，8/5），该点关于直线y=x对称点为（8/5，-1），易知该点不在函数y=-8x/(x^2 4)的图象上，所以①错误；
由图象直观性易知，该函数的最小值为-2，所以②正确；
由图象直观性易知，当-1<x<1时，
函数值y随x增大而减小，
所以的最小值为-2，所以③正确；
故正确的序号是②③；
（3）画出函数y=x的图象，不等式8x/(x^2 4)>x的解就是函数y=8x/(x^2 4)的图象位于直线y=x上方部分图象所有点的横坐标的集合，
由图象直观性易知两函数图象相交于点（0，0），
在该点的左边，函数y=8x/(x^2 4)的图象位于直线y=x上方，
所以函数y=8x/(x^2 4)的图象位于直线y=x上方的解集是x<0.
